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Ayudanta 5 - Pablo Daz

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PONTIFICA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
FACULTAD DE MATEMÁTICAS 
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 
Profesora: Gabriela Fernández 
Ayudantes: 
- Sección 5: Pablo Díaz (pdiaz2@uc.cl) 
- Sección 6: Paulina Shieh (psshieh@uc.cl) 
 
MAT 1610 – Cálculo I 
Ayudantía 5 
1. 
a. Sea 
 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑚 𝑥 − 𝑏 𝑛 . Demuestre que existe un ξ tal que: 
 
𝑚
𝑛
=
𝜉−𝑎
𝑏−𝜉
 
b. Demuestre que la función 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 
1+𝑥
1−𝑥
 − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 es 
constante en el intervalo [0,1] y encuentre el valor de dicha constante. 
c. Demuestre que 
𝑏 − 𝑎
1 + 𝑏2
< 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑏 − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑎 <
𝑏 − 𝑎
1 + 𝑎2
 
 
2. Dada la función 𝑓 𝑥 =
𝑥3
(𝑥−1)2
 indique todos sus intervalos de crecimiento y 
decrecimiento, sus extremos relativos y si posee asíntotas. Grafique. 
3. Calcule los siguientes límites: 
𝑙𝑖𝑚
𝑥→2
𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2 𝑥 + 3 
𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 4 𝑥 − 2 
 
lim
𝑥→0
𝑥3
𝑠𝑖𝑛 𝑥 (3 + 𝑐𝑜𝑠⁡ 
1
𝑥2
 
 
4. Determine el valor de la constante c tal que para la función 
𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 
Se tenga que: 
 1 − 𝑥2 𝑦′′ + 𝑥𝑦′ = 𝑐 
5. Sea f tal que 𝑓′′ 𝑥 ≥ 0. Demuestre que para todo x1,x2, tal que x1<x2 se tiene 
que 
𝑓 
𝑥1 + 𝑥2
2
 ≤
𝑓 𝑥1 + 𝑓(𝑥2)
2
 
mailto:pdiaz2@uc.cl
mailto:psshieh@uc.cl

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