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PONTIFICA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Profesora: Gabriela Fernández Ayudantes: - Sección 5: Pablo Díaz (pdiaz2@uc.cl) - Sección 6: Paulina Shieh (psshieh@uc.cl) MAT 1610 – Cálculo I Ayudantía 5 1. a. Sea 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 𝑎 𝑚 𝑥 − 𝑏 𝑛 . Demuestre que existe un ξ tal que: 𝑚 𝑛 = 𝜉−𝑎 𝑏−𝜉 b. Demuestre que la función 𝑓 𝑥 = 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 1+𝑥 1−𝑥 − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑥 es constante en el intervalo [0,1] y encuentre el valor de dicha constante. c. Demuestre que 𝑏 − 𝑎 1 + 𝑏2 < 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑏 − 𝐴𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 𝑎 < 𝑏 − 𝑎 1 + 𝑎2 2. Dada la función 𝑓 𝑥 = 𝑥3 (𝑥−1)2 indique todos sus intervalos de crecimiento y decrecimiento, sus extremos relativos y si posee asíntotas. Grafique. 3. Calcule los siguientes límites: 𝑙𝑖𝑚 𝑥→2 𝑠𝑖𝑛 𝑥 − 2 𝑥 + 3 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 4 𝑥 − 2 lim 𝑥→0 𝑥3 𝑠𝑖𝑛 𝑥 (3 + 𝑐𝑜𝑠 1 𝑥2 4. Determine el valor de la constante c tal que para la función 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 + 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 2 Se tenga que: 1 − 𝑥2 𝑦′′ + 𝑥𝑦′ = 𝑐 5. Sea f tal que 𝑓′′ 𝑥 ≥ 0. Demuestre que para todo x1,x2, tal que x1<x2 se tiene que 𝑓 𝑥1 + 𝑥2 2 ≤ 𝑓 𝑥1 + 𝑓(𝑥2) 2 mailto:pdiaz2@uc.cl mailto:psshieh@uc.cl
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