Ayudanta 2 - Pablo Daz

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Profesora: Gabriela Fernández
Ayudantes:
- Sección 5: Pablo Díaz (pdiaz2@uc.cl)
- Sección 6: Paulina Shieh (psshieh@uc.cl)
MAT 1610 - Cálculo I
Ayudantía 2
1. Calcular los siguientes límites:
a) ĺım
x→∞
[
1
6
cos2
(
xs + ln(x + xx)
expx + 2
)
+
2
7
sin2(tanh(x))
]x
, s ∈ R
b) ĺım
x→0
arctan(x)
x
c) ĺım
x→0
1− cos(x)
x2
d) ĺım
x→0
(1− cos(x))3
tan2(x)
· cot
(
x4
2
)
2. Demuestre las siguientes proposiciones.
a) Si f y g son continuas en [a, b] tales que f(a) > g(a) y f(b) < g(b),
pruebe que existe c tal que f(c) = g(c).
b) Sea f(x) una función polinomial de grado n tal que el primer y último
coe�ciente tienen signos distintos. Demuestre que existe al menos una
raiz positiva para f(x).
c) Demuestre que el polinomio p(x) = x3+3x2−1 tiene tres raices reales.
3. Sea f(x) una función continua e invertible en un intervalo I. Demuestre que
f−1(x) es continua en el intervalo J = f(I).
4. Estudie la continuidad y diferenciabilidad de la función
f(x) =
 xn sin
(
1
x
)
si x 6= 0
0 si x = 0
Ejercicios Propuestos
1. ĺım
x→∞
nn
2n2
2. ĺım
x→0
√
x2 + x + 1− 1
sin(4x)
1