Aplicaciones de la derivada I

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Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 
Departamento de Matemática 1-2011 
Escuela de ingeniería Sección 3 
RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA 
RASALINA@UC.CL 
AYUDANTÍA 7: APLICACIONES DE LA DERIVADA I 
PROBLEMA 1: RAZÓN DE CAMBIO, EL GLOBITO 
Un globo asciende desde A verticalmente hacia arriba con una velocidad constante de 10 
metros por segundo. A una distancia de 100 metros del punto A se encuentra un observador 
B 
i. ¿A qué razón varía la distancia s desde el globo del observador en el instante en el 
que el globo se encuentra a 50 metros de altura respecto a A? 
ii. Cómo varía el ángulo de observación que forma la visual del observador con respecto 
a la horizontal, cuando el globo está a 100 metros sobre A? 
Todos estos problemas se resuelven igual, son sólo 3 pasos 
• Se plantea una ecuación en términos de variables. 
• Se deriva implícitamente con respecto a una variable (en este caso, el tiempo) 
• Reemplazar 
 
Para s se plantea la siguiente ecuación 
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2100s t x t y t y t= + = + 
Se deriva 
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )2 2
2
1
100
d d
s t x t y t y t y t
dt dty t
= + =
+
 
Pero la velocidad en y es constante. Se reemplaza por los valores dados 
( ) ( )50, ' 10y t y t= = 
( ) 25 26
13
d
s t
dt
= 
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Análogamente, se tiene la ecuación para theta: 
( )tan
100
yθ = No se explicitó pero está todo respecto al tiempo. Se deriva 
( )2 'sec '
100
yθ θ = Donde ( )
2 2
2
2 2
100
sec , 100, ' 10
100
s y
y y
x
θ += = = = 
Estos valores están tomados respecto al tiempo en el instante dado. 
 
 
TEOREMA DEL VALOR MEDIO (T.V.M.) 
Sea :f T ⊆ →ℝ ℝ función diferenciable en un intervalo [ ],a b , entonces existe un punto c tal 
que: 
( ) ( ) ( )'f b f a f c
b a
−
=
−
 
En otras palabras, que la pendiente de la recta pasa por los puntos ( )( ),a f a y ( )( ),b f b es 
igual al de la tangente de algún punto dentro del intervalo 
 
> with(plots): 
> coseno:=plot(cos(x),x=0..4, thickness = 2): 
> rectaPunto:=plot((cos(4) - cos(0))/4 *(x) + cos(0),x=0..4, color= 
blue): 
> p:=solve (-sin(x) = (cos(4)-cos(0))/4, x): 
> rectaTang:= plot(-sin(p)*(x - p) +cos(p), x = 0..4, color = brown): 
> display(coseno,rectaPunto, rectaTang, axes =boxed, thickness = 2, 
scaling = constrained); 
 
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Nótese que el teorema de Rolles no es más que un caso particular del teorema del valor 
intermedio ( ) ( )f a f b= 
PROBLEMA 1: ACOTADA EN LA DERIVADA 
Sea :f →ℝ ℝ una función derivable tal que su derivada es siempre acotada y ( )0 0f = . 
Calcule
( )
2
lim
x
f x
x→∞
 
( ) ( ) ( ) ( )0 ' ,0
0
f x f f x
f c c x
x x
−
= = ≤ ≤
−
 Pero la derivada es acotada. Así 
( )f x
M
x
< ( ) ( )
2
1
lim lim 0
x x
f x f x
x x x→∞ →∞
= =
 
PROBLEMA 2: LA PROPORCIÓN 
I2 2010-1, pregunta 1. 
Se tiene una función [ ]: ,f a b → ℝ , derivable en ( ),a b y ( ) ( ) 0f a f b= = . Demuestre que para 
todo k existe c tal que ( ) ( )'f c kf c= . Hint: use ( )kxe f x− 
Llámese ( ) ( )kxg x e f x−= 
Por construcción, ( ) ( ) 0g a g b= = , si se aplica el teorema del valor medio a la función g al ser 
continua. 
( ) ( ) ( )/ ' 0
kxde f x
c g c c
dx
−
∃ = = Aplicando regla distributiva. 
( ) ( ) ( ) ( )' 0
kx
kc kcde f x c ke f c e f c
dx
−
− −= − + = Factorizando 
( ) ( )( )' 0kce kf c f c− − + = 
( ) ( )' 0kf c f c− + = Lo que se pedía 
 
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DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR 
Sea :f T ⊆ →ℝ ℝ . La aplicación derivada también puede considerarse como una 
transformación de la función f a otra función. Por lo que puede analizarse si esa función es 
derivable en ese punto. En el caso de la segunda derivada 
( ) ( ) ( ) ( )2
0
' '
lim
h
f x h f x
f x
h→
+ −
= 
Se dice que la función es ( )nC T cuando es n-veces derivable en el dominio T y su enésima 
derivada es una función continua 
CRECIMIENTO Y CONCAVIDAD 
Las derivadas también sirven para conocer comportamientos de funciones. 2 aplicaciones 
útiles son: 
• Crecimiento: Si ( )' 0f x > (respectivamente, ( )' 0f x < ) en un intervalo, entonces f es 
estrictamente creciente (estrictamente decreciente) ahí. 
Se define que una función es convexa en un intervalo cuando, dados 2 puntos dentro de él, 
el segmento que los une esta “arriba” de la función. Análogamente, es cóncava cuando el 
segmento que los une para por abajo. 
Regla mnemotécnica: Convexa, contenta. Cóncavo, con casco. 
Matemáticamente: 
• Convexo: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]1 1 , 0,1 ; ,f b f af a t bt a t bt a f a t a b I
b a
−
− + ≤ − + − + ∈ ∀ ∈
−
 
• Cóncavo: ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) [ ]1 1 , 0,1 ; ,f b f af a t bt a t bt a f a t a b I
b a
−
− + ≤ − + − + ∈ ∀ ∈
−
 
 
 
 
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La segunda derivada nos permite ahorrar tan compleja definición de la siguiente forma: 
Si ( )0'' 0f x > ( ( )0'' 0f x < ), entonces la función es localmente convexa (cóncava) en torno al 
punto x0 
MÁXIMOS Y MÍNIMOS 
Sea :f T ⊆ →ℝ ℝ . Se dice que 0x T∈ es máximo (respectivamente, mínimo) cuando 
( ) ( )0 sup
x T
f x f x
∈
= ( ) ( )( )0 infx Tf x f x∈= 
Para funciones diferenciables de domino real se tienes la siguiente condición necesaria: 
Si ( )0f x es extremo, entonces ( )' 0f x = 
SI ( )0' 0f x = , se dice que es punto crítico. 
Para tener condiciones de suficiencia. Si la función es 2 veces diferenciable, entonces: 
• Si ( )0' 0f x = y ( )0'' 0f x > , entonces ( )0f x es mínimo local. 
• Si ( )0' 0f x = y ( )0'' 0f x < , entonces ( )0f x es máximo local. 
Nótese que las desigualdades son estrictas. Si se da que la segunda derivada evaluada en el 
punto crítico es 0. No se puede saber (ejemplo: ( ) 5f x x= ). En los puntos donde ( )0'' 0f y = , se 
dice que es punto de inflexión. 
Un teorema interesante que sirve para no trabajar con funciones engorrosas es el siguiente: Si 
g es una función creciente en algún dominio y x0 es extremo de la función f, función cuya 
imagen es subconjunto del dominio donde g es creciente, entonces x0 es de la función g 
compuesta con f. 
TEOREMA DE WEIERSTRASS 
Si se tiene una función continua definida en un intervalo cerrado y acotado. Entonces la 
función alcanza su máximo y su mínimo (tiene extremos). 
En el caso que se busque un óptimo en un dominio como el descrito anteriormente, hay que 
considerar los extremos como puntos críticos, ya que podría ser en estos puntos el valor de la 
función evaluada sea mayor que en el máximo local (análogo al caso de minimización) 
PROBLEMA 3: EL MÁS CERCANO AL ORIGEN 
Encuentre los puntos más cercanos al origen de la parábola 2 3y x= − . 
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La función a minimizar (también llamada función objetivo) es 
( ) ( ) ( )222 2 2 3d x x y x x x= + = + − . Para no trabajar con la raíz. Se minimiza la función 
( ) ( )22 2 2 3d x x x= + − . Para ello, se buscan los puntos críticos. 
( ) ( )2 2' 2 2 3 2 0d x x x x= + − = Pudo haberse expandido la función y luego derivar, pero no 
es muy recomendable. 
( )( )21 2 3 0x x+ − = Se tienen 3 soluciones 
( )2
0
1 2 3 0
x
x
=
+ − =
 
2
0
2 5 0
x
x
=
− =
 
Las solucionesentonces son 
5
0,
2
x x= = ± . Para evaluar su condición de extremo, se aplica 
la segunda derivada de la función auxiliar. 
( ) ( )2 2 2'' 2 4 3 2d x x x= + − + Evaluando 
( ) ( )2 2 2'' 0 2 4 0 3 2 0 10d = + − + ⋅ = − ( ) ( )2 2 25'' 2 2 2 6 2 2 2 2 5 6 2 5 0
2
d x x
 
± = + − + ⋅ = + − + ⋅ >  
 
 
Así, se concluye que 0 es máximo local de la función y que los puntos 
5
2
± son mínimos 
locales. Para ultimar la globalidad bastaría decir que el límite cuando el módulo de x tiende 
infinito de la función diverge a infinito. 
GRÁFICOS 
Puede bosquejarse el gráfico de la función f analizando: 
• Asíntotas oblicuas o verticales 
• Raíces de la función 
• Crecimiento, máximos y mínimos locales o globales 
• Concavidad, puntos de inflexión. 
 
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PROBLEMA 4: BOSQUEJANDO 
I2 2010-2, pregunta 3 
Bosqueje el gráfico de la función 
3
2
2
4
x
x −
, establezca: 
a) Asíntotas 
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos 
c) Concavidad y puntos de inflexión 
d) Máximos y mínimos locales 
En este tipo de problemas simplemente hay que mantener el orden, subrayar lo que 
se necesita y tener extremo cuidado con derivar. 
a) Asíntotas 
a. Verticales: Basta indeterminar el denominador. Así que existen en los punto 2 
y -2 
b. Oblicuas: 
( )
lim 2
x
f x
m
x→∞
= = , mientras que ( )lim 2 0
x
f x x
→∞
− = 
b) Intervalos de crecimiento: 
Se analiza el signo de la derivada: Positivo, creciente; negativo, decreciente. 
( )
( )
2 2 43
22 2
6 4 42
4 4
x x xd x
dx x x
− − 
= −  −
 
Como el denominador es siempre positivo, sólo hay analizar el denominador 
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 4 2 2 2 2 2 26 4 4 2 3 12 2 2 12 2 12 12x x x x x x x x x x x− − = − − = − = − + 
Los puntos críticos son 0, 12x x= = ± y la función decrece en el intervalo ( )12, 12− y 
crece en el complemento de éste. 
c) Concavidad: 
Derivando 2 veces: 
 
 
( )
( )
( )
( )
2 2 22 3
2 32 2 2 2
2 12 16 122
4 4 4
x x x xd x d
dx x dx x x
 − +   = =   −  − − 
 Derivación recomendada al lector 
( )
( ) ( )
2
22 2
16 12
0
4 4
x x
x x
+
>
− −
 ( )2 04
x
x
>
−
 
( )( )
0
2 2
x
x x
>
− +
 
Sólo 0 es punto de inflexión, 2 y -2 no son puntos donde está definida la función. 
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La función es cóncava (su segunda derivada negativa) en el conjunto ( ] ( ), 2 0,2∞ − ∪ y es 
convexa en el complemento. 
d) Máximos y mínimos locales 
Evaluando en los puntos críticos ( )'' 0 0f = ( )'' 12 0f < ( )'' 12 0f − > 
12 es mínimo local, mientras que 12− es máximo local. Como se produce un 
cambio de signo en la segunda derivada en torno a 0. 0 es punto de inflexión. 
 
Gráfico 
 
REGLA DE L’HÔPITAL 
La regla de L’hopital nos permite calcular límites de forma indeterminada 00 o 
∞
∞ . El 
teorema reza así: 
Sean f, g funciones derivables tales que ( ) ( )lim lim 0
x c x c
f x g x
→ →
= = . Entonces 
( )
( )
( )
( )
'
lim lim
'x c x c
f x f x
g x g x→ →
= 
Pareciera ser la panacea para todos los problemas de límite. Lo malo es que generalmente al 
derivar la función se hace más compleja y puede costar un poco si evaluación. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminada 
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l'H%C3%B4pital 
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PROBLEMA 6: APLICACION DE LA REGLA 
Calcule 
( )
30
1 sec
lim
x
x
x+→
−
 
Simplemente, se deriva hasta que “muera” el denominador 
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
3 3 20 0 0 0
sec tan '1 sec 1' sec ' sec tan
lim lim lim lim
' 3 6x x x x
x xx x x x
x x x x+ + + +→ → → →
−− − −
= = = 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 3
0 0
sec tan ' tan sec sec
lim lim
6 6x x
x x x x x
x x+ +→ →
− − −
= No vale la pena derivar a la bruta, hay 
que arreglar la expresión 
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )32 2 2
0 0 0
sec 2secsec tan sec sec 2sec 1
lim lim lim
6 6 6x x x
x xx x x x x
x x x+ + +→ → →
−− + − −
= = = 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )3 2
0 0
sec 2sec sec tan 6sec sec tan
lim lim 0
6 6x x
x x x x x x x
x+ +→ →
− −
= = =