Aplicaciones de la derivada II- Optimizacin, calculo de limites mediante el teorema de taylor

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Pontificia Universidad Católica de Chile Ayudantía de Cálculo I, MAT-1610 
Departamento de Matemática 1-2011 
Escuela de ingeniería Sección 3 
RAÚL ANTONIO SALINAS HERRADA 
RASALINA@UC.CL 
AYUDANTÍA 8: APLICACIONES DE LA DERIVADA II: OPTIMIZACIÓN 
CON RESTRICCIONES, GRÁFICOS, L’HÔPITAL, TEOREMA DE TAYLOR 
PROBLEMA 1: OPTIMIZACIÓN EN DOMINIO RESTRINGIDO 
Marina se encuentra en la orilla de un lago circular de radio r y desea llegar al punto 
diametralmente opuesto. Si primero puede remar un bote a velocidad p(p>0) y en seguida 
trotar por la orilla a velocidad 2p ¿Cómo le conviene efectuar la travesía para demorar lo 
menos posible? 
 
Para estos problemas, la clave está en una correcta modelación del problema. 
Definimos: 
: Distancia recorrida en bote
: Distancia recorrida trotando
B
T
d
d
 
Así, nuestra función objetivo es: 
2
T Bd df
p p
= + , desafortunadamente, nuestro problema está dependiendo de 2 variables… 
mala cosa. Hace falta definir las distancias en función de un parámetro, para ello 
introducimos la variable θ, que es es el ángulo formado entre la horizontal y la dirección que 
se sigue en bote 
 
Así, las distancias en función del ángulo son: 
2 cos
2
B
T
d r
d r
θ
θ
=
=
 y nuestra función objetivo a minimizar es ( ) 2 2 cos
2
r r
f
p p
θ θθ = + 
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2
¡Ojo!, Nótese que el dominio de θ está acotado por 20 πθ≤ ≤ . Se encuentran los puntos 
críticos. 
( ) 2 sin' 0crcr
rr
f
p p
θθ = − = 
1
sin
2cr
θ = 630ºcr πθ = = 
( ) 2 cos'' 0crcr
r
f
p
θθ = − < Al ángulo crítico resultó ser máximo local, mala cosa. 
El teorema de Weierstrass nos asegura la existencia del mínimo, como no existe un mínimo 
local en la función definida en la recta real, el mínimo debe encontrarse en los extremos 
definidos de la función. 
( ) 2 0 2 cos0 20
2
r r r
f
p p p
⋅= + = 
2 2 cos
2 2
2 2 2
r r
r
f
p p p
π π
π π
   ⋅   
     = + = 
 
 ( ) ( )2 22 0f fπ π< ⇒ < 
Por lo tanto, Marina debería trotar durante todo su recorrido. 
PROBLEMA 4: BOSQUEJANDO 
I2 2010-2, pregunta 3 
Bosqueje el gráfico de la función 
3
2
2
4
x
x −
, establezca: 
a) Asíntotas 
b) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, puntos críticos 
c) Concavidad y puntos de inflexión 
d) Máximos y mínimos locales 
En este tipo de problemas simplemente hay que mantener el orden, subrayar lo que 
se necesita y tener extremo cuidado con derivar. 
a) Asíntotas 
a. Verticales: Basta indeterminar el denominador. Así que existen en los punto 2 
y -2 
b. Oblicuas: 
( )
lim 2
x
f x
m
x→∞
= = , mientras que ( )lim 2 0
x
f x x
→∞
− = 
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b) Intervalos de crecimiento: 
Se analiza el signo de la derivada: Positivo, creciente; negativo, decreciente. 
( )
( )
2 2 43
22 2
6 4 42
4 4
x x xd x
dx x x
− − 
= −  −
 
Como el denominador es siempre positivo, sólo hay analizar el denominador 
( ) ( ) ( ) ( )( )2 2 4 2 2 2 2 2 26 4 4 2 3 12 2 2 12 2 12 12x x x x x x x x x x x− − = − − = − = − + 
Los puntos críticos son 0, 12x x= = ± y la función decrece en el intervalo ( )12, 12− y 
crece en el complemento de éste. 
c) Concavidad: 
Derivando 2 veces: 
 
 
( )
( )
( )
( )
2 2 22 3
2 32 2 2 2
2 12 16 122
4 4 4
x x x xd x d
dx x dx x x
 − +   = =   −  − − 
 Derivación recomendada al lector 
( )
( ) ( )
2
22 2
16 12
0
4 4
x x
x x
+
>
− −
 ( )2 04
x
x
>
−
 
( )( ) 02 2
x
x x
>
− +
 
Sólo 0 es punto de inflexión, 2 y -2 no son puntos donde está definida la función. 
La función es cóncava (su segunda derivada negativa) en el conjunto ( ] ( ), 2 0,2∞ − ∪ y es 
convexa en el complemento. 
d) Máximos y mínimos locales 
Evaluando en los puntos críticos ( )'' 0 0f = ( )'' 12 0f < ( )'' 12 0f − > 
12 es mínimo local, mientras que 12− es máximo local. Como se produce un 
cambio de signo en la segunda derivada en torno a 0. 0 es punto de inflexión. 
 
Gráfico 
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REGLA DE L’HÔPITAL 
La regla de L’hopital nos permite calcular límites de forma indeterminada 00 o 
∞
∞ . El 
teorema reza así: 
Sean f, g funciones derivables tales que ( ) ( )lim lim 0
x c x c
f x g x
→ →
= = . Entonces 
( )
( )
( )
( )
'
lim lim
'x c x c
f x f x
g x g x→ →
= 
Pareciera ser la panacea para todos los problemas de límite. Lo malo es que generalmente al 
derivar la función se hace más compleja y puede costar un poco si evaluación. 
http://es.wikipedia.org/wiki/Forma_indeterminada 
http://es.wikipedia.org/wiki/Regla_de_l'H%C3%B4pital 
PROBLEMA 6: APLICACION DE LA REGLA 
Calcule 
( )
30
1 sec
lim
x
x
x+→
−
 
Simplemente, se deriva hasta que “muera” el denominador 
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( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 3
3 3 20 0 0 0 0
sec tan '1 sec 1' sec ' sec tan tan sec sec
lim lim lim lim lim
' 3 6 6x x x x x
x xx x x x x x x
x x x x x+ + + + +→ → → → →
−− − − − −
= = = =
 
( ) ( ) ( )
�
1
2 3
0
0
tan sec sec
lim
6x
x x x
x+
+
→
→
→
− −
= ∞
�����������
 
POLINOMIO DE TAYLOR 
Se tiene una función ( ): ,f a b →ℝ de clase ( )( ),nD a b , es decir, n veces diferenciable. Para 
ella se define el polinomio de Taylor de orden n en torno a x0, punto dentro del dominio: 
( )( ) ( )
( ) ( ) ( )0 00 0
1 !
jn
jx
n
j
f x
P f x f x x x
j=
= + −∑ 
El teorema de Taylor nos da una relación de orden del resto del polinomio. Para ello se 
introduce la notación ( )( )o g x . Leída “o chica de g de x” 
ORDEN DE UNA FUNCIÓN 
Se dice que una función h es ( )( )o g x cuando ( )( )0lim 0x
h x
g x→
= , notación ( ) ( )( )h x O g x= . Esta 
notación es algo confusa, ya que el signo igual simplemente refiere a una propiedad que 
tiene la función h y no tiene sentido unívoco (no hay transitividad). 
EL TEOREMA DE TAYLOR: RELACIÓN DE ORDEN DEL RESTO 
El teorema de Taylor postula que, para una función n veces diferenciable en su dominio Su 
resto tiene la propiedad de orden xn+1. 
( ) ( ) ( ) ( )00 xnr x x P f x f x− = − , 
( )
( )
( )
0 0
0
1 1
0
lim lim 0
n nx x x x
r x x r x
xx x
+ +→ →
−
= =
−
 
Para la serie de Taylor centrada en 0, lo que más se utiliza, es: 
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0 10 0 0
0 0! !
j jn n
j jx n
n
j j
f x f x
P f x x x r x x x x O x
j j
+
= =
= − + − = − +∑ ∑ 
Cuando se tiene una función n+1 veces diferenciable, 
( )
( ) ( ) ( )
1
1
0 0,1!
n
nf
x x x x x
n
ξ
ξ ξ
+
+= − ≤ ≤
+
 
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Una de las aplicaciones más interesantes de la serie de Taylor es que nos permite generalizar 
el teorema del valor medio y sobre todo aproximar muy bien (la relación de orden del resto 
nos formaliza este concepto) a través de polinomios. 
Pregunta para filosofar: Si una función es infinitamente diferenciable, su polinomio de Taylor 
de “grado infinito” ¿Es éste igual a la función? 
PROBLEMA 1: CALCULANDO LÍMITES MÁS SENCILLAMENTE 
Resuelva mediante aplicación del teorema de Taylor. 
i. 0
lim
ax bx
x
e e
x→
−
 
Se genera el polinomio de Taylor de orden 1 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2
0 0 0
1 1
lim lim lim
ax bx
x x x
ax o x bx o x b a x o x o xe e
x x x→ → →
− + −− + − + −− = =
 
NO se pueden restar los órdenes a priori, ya que acá la igualdad es sólo una 
representación de una propiedad, no de una igualdad unívoca. 
( ) ( ) ( )
2 2
20
lim
x
o x o x
b a x
x→
−
− +
 Aplicamos mera definición de orden 
 
( ) ( ) ( )
0
2 2
20
lim
x
o x o x
b a x b a
x→
−
− + = −
�������
 
ii. ( )0
1 1
lim
tanx x x→
−
 
Expandemos en Taylor en orden 2. Su resto queda de orden cúbico 
( ) ( )
( )
( )( ) ( )
( )
( )
3 3
3
33 330 0 0 0
2
3
1 1 1 1 1
lim lim lim lim 0
tan
1
x x x x
x o x x o x
x
x x x xx o x xx ox x o
x
x
→ → → →
− −
− = − = = − =
 − −
 −
 
 