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Ayudantía Final - MAT230E 1) Sistemas de 2x2 homogéneos (Aplicación) Suponga que hay dos supermercados que suministran toda la mercadería a los consumidores de un sector. A partir de un momento algunos consumidores se desplazan de un suministrador al otro por diversas razones (publicidad, costos, conveniencia, insatisfacción, etc.) Se quiere analizar el movimiento mensual de los consumidores. Para esto, supongamos que X e Y son tales abastecedores, y que las ventas de cada uno de ellos se expresan como fracción de éstas, siendo ellas x(t) e y(t) en el mes t, respectivamente. Supóngase que x(0)= 2/3 e y(0)=1/3. Supongamos también que X retiene ¼ de sus propios consumidores y capta la fracción 2/7 de los clientes de Y. A la vez, Y capta la fracción ¾ de los clientes de X y retiene 5/7 de sus propios consumidores. a) Plantee y resuelva como sistema de ecuaciones diferenciales. Incluya el PVI b) Exprese las ventas de cada supermercado como fracción de las ventas totales. c) Encuentre la participación de mercado de cada supermercado en el largo plazo. 2) Sistemas de 3x3 homogéneos a) X’= 5x-4y Y’=x +2z Z’= 2y +5z b) Pregunta 4b, Examen 2015-2 X´= x+y+z Y’= y+z Z´= z 3) Máximos y mínimos. Pregunta 1b, Examen 2015-2 Sea C la curva de intersección del cilindro 𝑥2 + 𝑧2 = 1 y el plano 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 4. Encontrar los puntos de esta curva que están más próximos al plano XZ y los que están más alejados de este mismo plano 4) Integrales dobles. Pregunta 2, Examen 2015-2 a) Exprese como integral doble el volumen del sólido en el primer octante encerrado por las gráficas de 𝑥2 + 𝑦2 = 4 y 𝑧2 + 𝑦2 = 4 b) Calcular ∬ √𝑥2 + 𝑦 sobre la región D, delimitada por 𝑥2 = 𝑦, el eje x, y las rectas x=1 y x=-1 5) Ecuaciones diferenciales. Pregunta 3, Examen 2015-2 a) 3𝑦´´ − 9𝑦´ + 6𝑦 = 2𝑐𝑜𝑠(2𝑥) b) 𝑥𝑦´ + 𝑦 = 𝑥𝑒−𝑥 2
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