Ayudantía 4 - SOL

Vista previa del material en texto

Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemáticas
MAT1620 - Cálculo II - Sección 2 - 2014-02
Profesor: José López
Ayudant́ıa IV
Coordenadas Polares e Introducción de Integrales Impropias
Ayudante: Daniel Araya - dtaraya@uc.cl
Fórmulas
• Conversión de coordenadas polares a cartesianas
x = r cos(θ)
y = r sin(θ)
• Conversión de coordenadas cartesianas a polares
r =
√
x2 + y2
tan(θ) =
y
x
• Longitud de arco en coordenadas polares
ds =
√
r2 + (r′)2 dθ
• Área entre regiones polares
El área abarcada entre dos funciones polares r = f(θ) y r = g(θ) para θ ∈ [θ2, θ1] es:
A =
1
2
∫ θ2
θ1
(f2(θ)− g2(θ)) dθ, θ2 ≥ θ1
1
Problemas
Problema 1
Encuentre el área de la region resultante de la intersección de r1(θ) = cos(θ) y r2(θ) = 1− cos(θ).
Solución:
Primero debemos tener claro de que en qué region estamos trabajando. Gráficamos:
Busquemos los angulos cŕıticos en donde se intersectan ambas regiones, para eso simplemente igualamos
r1(θ) = r2(θ):
r1(θ) = r2(θ)
⇔ cos(θ) = 1− cos(θ)
⇔ cos(θ) = 1
2
⇒ θ = −π
3
∨ θ = π
3
Luego es evidente que tenemos que barrer para:
• θ ∈
[
−π
3
,
π
3
]
: con r2(θ)
• θ ∈
[π
3
,−π
3
]
: con r1(θ)
Finalmente todo se reduce a resolver la integral:
A =
∫ π
3
−π3
1
2
r2
2(θ) dθ +
∫ π
2
π
3
1
2
r1
2(θ) dθ +
∫ −π3
−π2
1
2
r1
2(θ) dθ
=
1
2
(∫ π
3
−π3
(1− cos(θ))2 dθ + 2
∫ π
2
π
3
cos2(θ) dθ
)
= ...
=
7π
12
−
√
3
2
Concluyendo lo pedido. �
Problema 2
Del problema 1, encuentre el área de la region encerrada por r1(θ) = cos(θ) y que se encuentra fuera de
r2(θ) = 1− cos(θ).
Solución:
En este caso notemos que entre θ ∈
[
−π
2
,
π
2
]
barremos toda la circunferencia, nos faltaŕıa quitar los
’petalos’ formados entre r1 y r2, entonces es evidente que el área a calcular es:
A =
∫ π
2
−π2
1
2
r1
2(θ) dθ −
∫ π
3
−π3
1
2
r2
2(θ) dθ − 2
∫ π
2
π
3
1
2
r1
2(θ) dθ
= ...
=
√
3− π
3
Concluyendo lo pedido. �
Problema 3 (I1-2010-2)
Calcule el largo de la curva cuya representación en coordenadas polares es:
r(θ) = 2θ, 0 ≤ θ ≤ 2π
Solución:
Sabemos que la longitud de arco L de una función polar r(θ) entre los angulos θ ∈ [α, β] es:
L =
∫ β
α
√
r2 + (r′)2 dθ
Trivialmente, como r′ = ln(2)2θ la integral a resolver es:
L =
∫ 2π√
22θ + (ln(2)2θ)2 dθ
=
√
1 + ln2(2)
∫ 2π
0
2θ dθ
=
√
1 + ln2(2)
∫ 2π
0
eln 2
θ
dθ
=
√
1 + ln2(2)
∫ 2π
0
eθ ln 2 dθ
=
√
1 + ln2(2)
eθ ln 2
θ ln 2
∣∣∣∣2π
0
=
√
1 + ln2(2)
2θ
θ ln 2
∣∣∣∣2π
0
=
22π
ln 2
− 1
ln 2
3
Problema 4
Sea la función polar r = cos2(θ).
a) Esboce el gráfico de la función.
b) Calcule el volumen del cuerpo generado al rotar alrededor del eje OX.
Solución:
a) El gráfico es:
b) En primera instancia, no sabemos rotar funciones polares, por ello realicemos el cambio de varaible
polares a cartesianas:
⇒ x = cos3(θ)
y = cos2(θ)sin(θ)
Realicemoslo por el método de los Discos, como la imágen es simétria, usemos sólo la parte superior:
4
V =
∫
πf2(x) dx
⇒ V =
∫ x2
x1
πf2(x)
dx
dθ
dθ
⇒ V =
∫ 0
π
πcos4(θ)sin2(θ) · (−3cos2(θ) sin(θ)) dθ
V = 3
∫ π
0
cos6(θ)sin3(θ) dθ u = cos(θ)→ du = − sin(θ) dθ
⇒ V = −3
∫ −1
1
u6(1− u2) du
V = 3
(
u7
7
− u
9
9
) ∣∣∣∣1
−1
⇒ V = 4
21
Problema 5
Sea la función polar r = θ2 con 0 ≤ θ ≤ 3θ.
a) Diga cuantas veces la función se encuentra con el eje x considerando el primer encuentro en θ = 0.
Luego grafique la función.
b) De la gráfica encontrada, encuentre el área de la región A:
A = {0 ≤ r ≤ θ2 | 0 ≤ θ ≤ 2π}.
Solución
a) Sabemos que la curva toca el eje x cuando y = 0, como:
y = r sin(θ)
⇒ y = θ2 sin(θ)
Como 0 ≤ θ ≤ 3θ
⇒ θ = 0 ∨ θ = −π ∨ θ = 2π ∨ θ = 3π
Luego encuentra al eje x en 4 ocasiones. Finalmente su gráfica es:
5
b) Vemos que la función se mueve/gira en sentido antihorario (OJO estamos en coordenadas polares, es
decir, se mueve en el sentido en que evoluciona θ), esto implica que el loop formado tiene orientación
positiva. Luego el área a encontrar es:
A =
1
2
∫ θf
θi
r2(θ) dθ
=
1
2
∫ 2π
0
θ4 dθ
=
1
2
θ5
5
∣∣∣∣2π
0
=
32π5
10
=
16π5
5
.
Concluyendo lo pedido. �
Problema 6
Determine que tipo de integral impropia se trata y calcule su valor
1.
∫ ∞
0
e−x cos(x), dx
Respuesta:
1
2
2.
∫ ∞
1
1
x(1 + x2)
, dx
Respuesta:
ln(2)
2
Problema 7
Sea:
∫ ∞
0
xe−px dx ¿Para qué valores de p el valor de la integral existe? (i.e, converge).
6
Respuesta: Converge para p < 0 y tomar el valor de
1
p2
.
7