Ayudantía 5

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMÁTICAS.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.
SEGUNDO SEMESTRE 2019.
AYUDANTÍA 5
CALCULO II ? MAT1620
Vicente Merino - vamerino@uc.cl
Algunas definiciones útiles:
1. Prueba de la serie alternante Si la serie alternante
∞∑
n=1
(−1)n−1bn
cumple con
a) bn+1 ≤ bn para todo n
b) ĺımn→∞ bn = 0
Entonces la serie es convergente
2. Convergencia absoluta Una serie
∑
an es llamada absolutamente convergente si la
serie de valores absolutos
∑
|an| es convergente.
3. Convergencia condicional Una serie
∑
an se llama condicionalmente convergente
si es convergente pero no absolutamente convergente.
4. Teorema Si una serie
∑
an es absolutamente convergente, entonces es convergente.
5. Prueba de la razón
i) Si ĺımn→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L < 1, entonces la serie ∑∞n=1 an es absolutamente conver-
gente.
ii) Si ĺımn→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = L > 1 o L =∞, entonces la serie ∑∞n=1 an es divergente.
iii) Si ĺımn→∞
∣∣∣∣an+1an
∣∣∣∣ = 1, entonces la prueba de la razón no es concluyente.
6. Prueba de la ráız
i) Si ĺımn→∞
n
√
|an| = L < 1, entonces la serie
∑∞
n=1 an es absolutamente conver-
gente.
ii) Si ĺımn→∞
n
√
|an| = L > 1 o L =∞, entonces la serie
∑∞
n=1 an es divergente.
1
iii) Si ĺımn→∞
n
√
|an| = 1, entonces la prueba de la ráız no es concluyente.
7. Radio e intervalo de convergencia Para una serie de potencias dada
∑
cn(x− a)n
hay sólo tres posibilidades:
i) La serie converge solo cuando x = a.
ii) La serie converge para toda x.
iii) Hay un número positivo R tal que la serie converge si |x − a| < R y diverge si
|x− a| > R
El número R en el caso iii) se llama radio de convergencia de la serie de potencias.
Por convención, el radio de convergencia es R = 0 en el caso i) y R =∞ en el caso ii).
El intervalo de convergencia de una serie de potencias es el intervalo que consiste en
todos los valores de x para los cuales la serie converge. En el caso i) el intervalo consta
de un solo punto a. En el caso ii) el intervalo es (−∞, ∞). Observe que en el caso iii)
la desigualdad |x−a| < R se puede escribir de nuevo como a−R < x < a+R. Cuando
x es un extremo del intervalo, es decir, x = a ± R, cualquier cosa puede suceder: la
serie podŕıa ser convergente en uno o en ambos extremos, o podŕıa ser divergente en
ambos extremos.
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1. Analice la convergencia condicional o absoluta de la siguiente serie.
∞∑
n=1
(−1)n n√
n3 + 2
.
2. Analice la convergencia condicional o absoluta de la siguiente serie.
∞∑
n=1
(−1)n 2
n
n4
.
3. Analice la convergencia condicional o absoluta de la siguiente serie.
∞∑
n=1
(
−2n
n + 1
)5n
.
4. Analice la convergencia condicional o absoluta de la siguiente serie.
∞∑
n=1
(
1 +
1
n
)n2
.
5. Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie.
∞∑
n=1
(x− 2)n
n2 + 1
.
6. Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie.
∞∑
n=1
n(x + 1)n
4n
.
7. Determine el radio y el intervalo de convergencia de la serie.
∞∑
n=1
n!(2x− 1)n.
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