Ayudantía 12 Con Solución

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Pontificia Universidad Católica Chile
Facultad de Matemáticas - Mat1620
Profesor: Natham Aguirre
Ayudante: Francisco Rubio (fvrubio@uc.cl)
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Ayudant́ıa 12
Teorema de Fubini
∫∫
R
g(x)h(y)dA =
∫ b
a
g(x)dx
∫ d
c
h(y)dy donde R = [a, b]× [c, d]
Tipo I
Tipo II ∫∫
D
f(x, y)dA =
∫ d
c
∫ h2(y)
h1(y)
f(x, y)dxdy
si D es una región que se puede expresar como
D = {(x, y)|c 6 y 6 d, h1(y) 6 x 6 h2(y)}
Área de una Región D ∫∫
D
1dA = A(D)
Propiedad
si m 6 f(x, y) 6 M para toda (x, y) en D, entonces
mA(D) 6
∫∫
D
f(x, y)dA 6 MA(D)
1
Ejercicios
1. (I2 : P8 2018− 1) Determine los valores máximos y mı́nimos de la función f(x, y, z) = x2 + y2 + z2
definida sobre la superficie x2 + y
2
4
+ z
2
9
= 1
2. (I2 : P3 2019 − 1) Determine los máximos y mı́nimos absolutos de la función f(x, y) = x2 + y2 −
x− y + 1 definida sobre el conjunto
D :=
{
(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1
}
3. (I3 : P7 2016−1) SeaR la region del plano encerrada por las curvas y = x3−x e y = x2+x(conx ≥
0) Calcule el volumen del sólido definido sobre R y delimitado por el plano z = 0 y por la superficie
z = x + y.
4. (I3 : P5 2019− 1)
a) Invierta el orden de integración en la integral∫ 1
0
∫ 2−√y
y
f(x, y)dxdy
5. (I3 : P7 2018− 2) Considere la función
f(x, y) =
x√
x2 + y2
Calcule el integral utilizando el orden ∫∫
f(x, y)dxdy
2
Solución
Ejercicio 1.
Ejercicio 2.
Ejercicio 3.
3
Ejercicio 4.
Ejercicio 5.
4