Ayudantía 9 5 Compilado I2

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Pontificia Universidad Catolica de Chile Curso: MAT1620- Cálculo II
Facultad de Matemáticas Profesor: Wolfgang Rivera
Semestre 2019-2 Ayudante: Ignacio Castañeda
Mail: mat1620@ifcastaneda.cl
Ayudant́ıa 9.5
Compilado I2
9 de octubre de 2019
1. Determina si la siguiente serie converge o diverge
∞∑
n=1
n!
nn
2. Determine si las siguientes series convergen condicionalmente, absolutamente o divergen.
∞∑
n=1
(−1)n+1√
n
a)
∞∑
n=2
(−1)n−1(2n− 1)
(
√
2)n
b)
∞∑
n=2
(−1)n−1(n+ 1)
n
c)
3. Determine el radio y los intervalos de convergencia de las siguientes series
∞∑
n=1
(−1)n−1(x+ 3)n
3n
a)
∞∑
n=2
2(x− 4)n
n
b)
∞∑
n=2
(x− 2)n
2n+1
c)
4. Escribir las siguientes funciones como una serie de potencias
f(x) =
1
x2 − 4x+ 20
a) f(x) = ln(1 + x)b)
5. Expresar las siguientes series de potencias como una función
∞∑
n=2
xn
2n−1
a)
∞∑
n=1
(−1)n(3x+ 1)n−1
5n
b)
∞∑
n=0
x2n
4n
c)
∞∑
n=1
(2x− 3)n
n2n
d)
6. Determinar, utilizando series de potencias, el valor de
∞∑
n=1
1
3n
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7. Determinar el valor de la siguiente serie
∞∑
n=2
n2 + n
3n−1
8. Para cada función, encontrar la serie de Maclaurin que la representa
f(x) = cos(x)a) f(x) =
1
1− x
b)
9. Encontrar una aproximación de
√
101 con un error máximo de 10−3
10. Determina el dominio de las siguientes funciones
f(x, y) =
√
x+ y + ln(x2 + y2)a) f(x, y) =
x+ y
x2 − y2
b)
f(x, y, z) = ln(z + y)− 1
x2 + z2
c) f(x, y, z) =
√
ln(x+ y + z)d)
11. Determina el recorrido de las siguientes funciones
f(x, y) = x2 + y2 + 3a) f(x, y, z) = ln(
√
x2 + y2 + 4) + z2b)
12. Grafique las curvas de nivel de la función
f(x, y) =
√
9− x2 − y2
para k = 0, 1, 2, 3
13. Determinar si los siguientes limites existen o no. En caso de que existan, calcule su
valor
ĺım
(x,y)→(0,0)
x2
x2 + y2
a) ĺım
(x,y)→(0,0)
5x2y
x2 + y2
b)
ĺım
(x,y)→(0,0)
xy
x2 + y2
c) ĺım
(x,y)→(0,0)
x2yey
x4 + y2
d)
ĺım
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
x2 + y2
e) ĺım
(x,y)→(0,0)
sen(xy)
xy
f)
14. Dada la función
f(x) =

x4y3
3x2 + 2y2
si (x, y) 6= (0, 0)
0 si (x, y) = (0, 0)
2
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determinar si es continua en todo R2 o no.
15. Determine el conjunto de puntos en los cuales la función es continua
f(x, y) =

x3y2
x2 + 2y2
(x, y) 6= (0, 0)
1 (x, y) = (0, 0)
16. Determine la derivada por definición en x de la función
f(x, y) = 2xy + x2y + x+ y
17. Para las siguientes funciones, calcular fx y fy
a) f(x, y) =
xy
x− y
b) f(x, y) = (x2 + y2)sen
(
1
x2 + y2
)
18. Una función armónica es aquella que cumple con fxx+fyy = 0. Determina si la siguiente
funcion es armónica
f(x, y) = xy + 3x2 − y3
19. Busque
δz
δt
o
δw
δt
, según corresponda.
a) z = x2 + y2 + xy x = sen(t), y = et
b) w = xey/z x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t
c) w = ln(
√
x2 + y2 + z2) x = sen(t), y = cos(t), z = tan(t)
20. Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en todo R2. El cambio
de variables x = uv, y =
u2 − v2
2
transforma la función f(x, y) en la función g(u, v).
a) Calcule
δg
δu
,
δg
δv
en terminos de las derivadas parciales de f .
b) Si fxx(x, y)+fyy(x, y) = 2 para todo (x, y) ∈ R2, determine las constantes a, b ∈ R
tales que
a
δ2g
δu2
− bδ
2g
δv2
= u2 + v2
3