Ayudantía 12 5 Copilado I3

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Pontificia Universidad Catolica de Chile Curso: MAT1620- Cálculo II
Facultad de Matemáticas Profesor: Wolfgang Rivera
Semestre 2019-2 Ayudante: Ignacio Castañeda
Mail: mat1620@ifcastaneda.cl
Ayudant́ıa 12.5
Compilado I3
20 de noviembre de 2019
1. Si z3 − xz − y = −2, encuentre δ
2z
δyδx
cuando (x, y, z) = (−1, 0,−1).
2. Determine la gradiente de f , evalúela en el punto P y encuentre la razón de cambio de
f en P en la dirección del vector u.
a) f(x, y) = sen(2x+ 3y) P = (−6, 4), u =
(√
3i− j
)
b) f(x, y) =
y2
x
P = (1, 2), u =
(
2i+
√
5j
)
3. Suponga que f(x, y) es una función con derivadas parciales continuas en el punto (1, 1).
Asumir que la derivada direccional en (1, 1) en la dirección 〈3, 4〉 es 1 y en la dirección
〈5, 12〉 es −1.
a) Encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente en (1, 1, f(1, 1)).
b) Encontrar la derivada direccional de f(x, y) en (1, 1) en dirección al origen.
4. La temperatura en el punto (x, y) de una lamina metálica viene dada por la función
T (x, y) =
x
x2 + y2
. Hallar la razón de crecimiento máximo de la temperatura en el
punto (3, 4) y la dirección en que ella ocurre.
5. Encuentre y clasif́ıque los puntos cŕıticos de f(x, y) = x3 + 3xy2 − 15x− 12y.
6. Sea la función
f(x, y) = ax2y + bxy2 +
a2y2
2
+ 2y
determine los valores de a y b para que la función posea un punto silla en (1, 1).
7. Hallar los valores extremos de f(x, y) = x2+2y2−2x+3 en el disco cerrado x2+y2 ≤ 10.
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8. Determine el máximo y el mı́nimo valor que alcanza la expresión z = x2−4xy−y2+2y,
para x ≥ 0; y ≥ 0; x+ y ≤ 2.
9. Si el plano x+y+2z = 2 corta al paraboloide z = x2+y2 se forma una elipse. Encuentre
los puntos de la elipse que están más cerca y más lejos del origen.
10. Resolver las siguientes integrales múltiples∫ 4
2
∫ 2
1
yexydxdya)
∫ 1
−1
∫ 1
−1
xy
1 + x2 + y2
dxdyb)
11. Calcule ∫ 1
0
xb − xa
log x
dx
sabiendo que
∫ b
a
xydy =
xb − xa
log x
.
12. Dibuje la región de integración de
∫ 1
0
∫ 2x
x
dydx y luego cambie el orden de integración.
13. Evalúe la integral
∫ 2
1
∫ x2
x
12xdydx y luego dibuje la región de integración y exprese la
integral en el orden dxdy. Integre nuevamente.
14. Calcule la integral doble
∫∫
R
ex/ydA donde R es la región en R2 encerrada por las
curvas y =
√
x e y = 3
√
x.
15. Cambie el orden de integración y calcule cuando sea posible∫ 1
0
∫ √x
0
2xy
1− y4
dydxa)
∫ 1
0
∫ z
z2
ze−y
2
dydzb)
∫ 1
0
∫ π/2
arcsen(y)
cos(x)
√
1 + cos2(x)dxdyc)
∫ 1
0
∫ 1
√
x
x√
x2 + y2
dydxd)
16. Utilizando coordenadas polares, calcule:∫∫
D
x2y2
(x2 + y2)2
dxdy
2
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siendo D = {(x, y) ∈ R2 : 1 < x2 + y2 < 2}.
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