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Ayudantía 9

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Pontificia Universidad Catolica de Chile Curso: MAT1620- Cálculo II
Facultad de Matemáticas Profesor: Wolfgang Rivera
Semestre 2019-2 Ayudante: Ignacio Castañeda
Mail: mat1620@ifcastaneda.cl
Ayudant́ıa 9
Repaso I2
8 de octubre de 2019
1. Calcular la siguiente suma
1− ln(2) + (ln(2))
2
2!
− (ln(2))
3
3!
+ · · ·
2. Evalúe la integral indefinida como una serie infinita∫
x arctan(3x)dx
3. Demuestre que ∫ 1
0
1− cos(x)
x2
=
∑
n=1
(−1)n+1
(2n)!(2n− 1)
4. Sea la función
f(x, y) =

xy√
x2 + y2
(x, y) 6= (0, 0)
0 (x, y) = (0, 0)
a) Determinar si f es continua en (0, 0).
b) Calcular sus derivadas parciales en (0, 0), en caso de que existan.
c) Determinar si f es diferenciable en (0, 0).
5. Encontrar el plano tangente a la superficie z = y cos
(x
2
)
en el punto (π, 1, 0).
6. Hallar las ecuaciones de los planos tangentes a la superficie x2 + 2y2 + 3z2 = 21 que
sean paralelos al plano x+ 4y + 6z = 0.
7. El cambio de variables
{
x = u+ v
y = uv2
transforma a z = f(x, y) en z = g(u, v). Calcular
Ayudant́ıa 9 - Ignacio Castañeda - mat1620@ifcastaneda.cl
el valor de
δ2z
δuδv
en el punto (u, v) = (1, 1), sabiendo que en aquel punto se cumple
δf
δy
=
δ2f
δx2
=
δ2f
δy2
=
δ2f
δxδy
=
δ2f
δyδx
= 1
2

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