Ayudantía 8

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Pontificia Universidad Catolica de Chile Curso: MAT1620- Cálculo II
Facultad de Matemáticas Profesor: Wolfgang Rivera
Semestre 2019-2 Ayudante: Ignacio Castañeda
Mail: mat1620@ifcastaneda.cl
Ayudant́ıa 8
Derivadas parciales y regla de la cadena
1 de octubre de 2019
1. Determine la derivada por definición en x de la función
f(x, y) = 2xy + x2y + x+ y
2. Para las siguientes funciones, calcular fx y fy
a) f(x, y) =
xy
x− y
b) f(x, y) = (x2 + y2)sen
(
1
x2 + y2
)
3. Una función armónica es aquella que cumple con fxx+fyy = 0. Determina si la siguiente
funcion es armónica
f(x, y) = xy + 3x2 − y3
4. Busque
δz
δt
o
δw
δt
, según corresponda.
a) z = x2 + y2 + xy x = sen(t), y = et
b) w = xey/z x = t2, y = 1− t, z = 1 + 2t
c) w = ln(
√
x2 + y2 + z2) x = sen(t), y = cos(t), z = tan(t)
5. Sea f una función con segundas derivadas parciales continuas en todo R2. El cambio
de variables x = uv, y =
u2 − v2
2
transforma la función f(x, y) en la función g(u, v).
a) Calcule
δg
δu
,
δg
δv
en terminos de las derivadas parciales de f .
b) Si fxx(x, y)+fyy(x, y) = 2 para todo (x, y) ∈ R2, determine las constantes a, b ∈ R
tales que
a
δ2g
δu2
− bδ
2g
δv2
= u2 + v2