Ayudantía 10

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Pontificia Universidad Catolica de Chile Curso: MAT1620- Cálculo II
Facultad de Matemáticas Profesor: Wolfgang Rivera
Semestre 2019-2 Ayudante: Ignacio Castañeda
Mail: mat1620@ifcastaneda.cl
Ayudant́ıa 10
Derivación impĺıcita, vector gradiente, derivadas direccionales y optimización
15 de octubre de 2019
1. Si z3 − xz − y = −2, encuentre δ
2z
δyδx
cuando (x, y, z) = (−1, 0,−1).
2. Determine la gradiente de f , evalúela en el punto P y encuentre la razón de cambio de
f en P en la dirección del vector u.
a) f(x, y) = sen(2x+ 3y) P = (−6, 4), u =
(√
3i− j
)
b) f(x, y) =
y2
x
P = (1, 2), u =
(
2i+
√
5j
)
3. Suponga que f(x, y) es una función con derivadas parciales continuas en el punto (1, 1).
Asumir que la derivada direccional en (1, 1) en la dirección 〈3, 4〉 es 1 y en la dirección
〈5, 12〉 es −1.
a) Encontrar la ecuación cartesiana del plano tangente en (1, 1, f(1, 1)).
b) Encontrar la derivada direccional de f(x, y) en (1, 1) en dirección al origen.
4. La temperatura en el punto (x, y) de una lamina metálica viene dada por la función
T (x, y) =
x
x2 + y2
. Hallar la razón de crecimiento máximo de la temperatura en el
punto (3, 4) y la dirección en que ella ocurre.
5. Encuentre y clasif́ıque los puntos cŕıticos de f(x, y) = x3 + 3xy2 − 15x− 12y.
6. Sea la función
f(x, y) = ax2y + bxy2 +
a2y2
2
+ 2y
determine los valores de a y b para que la función posea un punto silla en (1, 1).