Logo Studenta

Ayudantía 3 5 Copilado I1

Vista previa del material en texto

Pontificia Universidad Catolica de Chile Curso: MAT1620- Cálculo II
Facultad de Matemáticas Profesor: Wolfgang Rivera
Semestre 2019-2 Ayudante: Ignacio Castañeda
Mail: mat1620@ifcastaneda.cl
Ayudant́ıa 3.5
Compilado I1
28 de agosto de 2019
1. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen o divergen y calcularlas en
caso de que converjan.∫ 3
0
1
x
√
x
dxa)
∫ ∞
e
1
xlnx
dxb)
∫ ∞
0
1√
x(1 + x)
dxc)
2. La Trompeta de Torricelli se consigue al rotar la curva y =
1
x
, x ≥ 1 en torno al eje x.
a) Calcular la superficie de la trompeta entre 1 y L con la siguiente formula:
S = 2π
∫ L
1
f(x)
√
1 + [f ′(x)]2dx, con L→∞
b) Calcular el volumen de la trompeta entre 1 y L con la siguiente formula:
V = π
∫ L
1
f(x)2dx, con L→∞
3. Determinar el valor de la constante C para la cual la integral∫ ∞
0
(
x
x2 + 1
− C
3x+ 1
)
dx
converge. Evalúe la integral para este valor de C.
4. Estudiar la convergencia de la siguiente integral∫ ∞
0
e−x
sen2(x)
x5/2
dx
5. Calcule el ĺımite de las siguientes sucesiónes
Ayudant́ıa 3.5 - Ignacio Castañeda - mat1620@ifcastaneda.cl
an =
3n + 7
5n − 3
a) an =
n3 − n
7n3 + 6
b)
an =
(−1)nn
n3 + 4
c) an = ln(n+ 1)− ln(n)d)
6. Determine si las siguientes sucesiones convergen y en caso de hacerlo, calcular su ĺımite.
{
1,−2
3
,
4
9
,− 8
27
, . . .
}
a)
{√
2,
√
2
√
2,
√
2
√
2
√
2, . . .
}
b)
7. Sea an =
n!
nn
, calcular ĺım
n→∞
an+1
an
8. La sucesión {an} se define con
a1 = 1 y an+1 = 3−
1
an
, ∀n ≥ 1
Se sabe que {an} es monótona creciente. Prueba que {an} es convergente y calcule su
ĺımite.
9. Determine si las siguientes series convergen o divergen.
∞∑
n=1
5n3
7n+ n3 − 1
a)
∞∑
n=1
(
sen
(nπ
2
))2
b)
∞∑
n=1
22n31−3nc)
∞∑
n=1
1 + n+ sin(n)
3n4 + ln(n)
d)
∞∑
n=20
1
nln(n)ln(ln(n))
e)
∞∑
n=1
ln
(
1 +
1
n
)
f)
10. Demuestre que si
∞∑
n=1
an es convergente, entonces el limite de la sucesión bn = ln(1+an)
en el infinito es 0.
11. Sea an una sucesión tal que an 6= 0, ∀n ∈ N.
Demuestre que si
∞∑
n=1
an converge, entonces
∞∑
n=1
1
an
diverge.
12. Considere una función f continua en R, decreciente y no negativa tal que
ĺım
x→∞
f(x)
e−x
= 5
Analice la convergencia de la serie
∞∑
n=1
f(n)
2
Ayudant́ıa 3.5 - Ignacio Castañeda - mat1620@ifcastaneda.cl
13. Considere la representación decimal de un número,
0, d1d2d3... =
d1
10
+
d2
102
+
d3
103
donde di es alguno de los d́ıgitos entre 0 y 9. Pruebe que la serie anterior es convergente.
3

Otros materiales

Materiales relacionados

10 pag.
T5_Integracion

User badge image

JOSE GABRIEL HUACACHI BAZAN

18 pag.
Apuntes Resumidos Cálculo II

User badge image

Apuntes para Apriender

39 pag.
Analisis-Matematico-I-2a-parte

UBAM

User badge image

Contenidos Muy Locos