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Pontificia Universidad Catolica de Chile Curso: MAT1620- Cálculo II Facultad de Matemáticas Profesor: Wolfgang Rivera Semestre 2019-2 Ayudante: Ignacio Castañeda Mail: mat1620@ifcastaneda.cl Ayudant́ıa 3.5 Compilado I1 28 de agosto de 2019 1. Determinar si las siguientes integrales impropias convergen o divergen y calcularlas en caso de que converjan.∫ 3 0 1 x √ x dxa) ∫ ∞ e 1 xlnx dxb) ∫ ∞ 0 1√ x(1 + x) dxc) 2. La Trompeta de Torricelli se consigue al rotar la curva y = 1 x , x ≥ 1 en torno al eje x. a) Calcular la superficie de la trompeta entre 1 y L con la siguiente formula: S = 2π ∫ L 1 f(x) √ 1 + [f ′(x)]2dx, con L→∞ b) Calcular el volumen de la trompeta entre 1 y L con la siguiente formula: V = π ∫ L 1 f(x)2dx, con L→∞ 3. Determinar el valor de la constante C para la cual la integral∫ ∞ 0 ( x x2 + 1 − C 3x+ 1 ) dx converge. Evalúe la integral para este valor de C. 4. Estudiar la convergencia de la siguiente integral∫ ∞ 0 e−x sen2(x) x5/2 dx 5. Calcule el ĺımite de las siguientes sucesiónes Ayudant́ıa 3.5 - Ignacio Castañeda - mat1620@ifcastaneda.cl an = 3n + 7 5n − 3 a) an = n3 − n 7n3 + 6 b) an = (−1)nn n3 + 4 c) an = ln(n+ 1)− ln(n)d) 6. Determine si las siguientes sucesiones convergen y en caso de hacerlo, calcular su ĺımite. { 1,−2 3 , 4 9 ,− 8 27 , . . . } a) {√ 2, √ 2 √ 2, √ 2 √ 2 √ 2, . . . } b) 7. Sea an = n! nn , calcular ĺım n→∞ an+1 an 8. La sucesión {an} se define con a1 = 1 y an+1 = 3− 1 an , ∀n ≥ 1 Se sabe que {an} es monótona creciente. Prueba que {an} es convergente y calcule su ĺımite. 9. Determine si las siguientes series convergen o divergen. ∞∑ n=1 5n3 7n+ n3 − 1 a) ∞∑ n=1 ( sen (nπ 2 ))2 b) ∞∑ n=1 22n31−3nc) ∞∑ n=1 1 + n+ sin(n) 3n4 + ln(n) d) ∞∑ n=20 1 nln(n)ln(ln(n)) e) ∞∑ n=1 ln ( 1 + 1 n ) f) 10. Demuestre que si ∞∑ n=1 an es convergente, entonces el limite de la sucesión bn = ln(1+an) en el infinito es 0. 11. Sea an una sucesión tal que an 6= 0, ∀n ∈ N. Demuestre que si ∞∑ n=1 an converge, entonces ∞∑ n=1 1 an diverge. 12. Considere una función f continua en R, decreciente y no negativa tal que ĺım x→∞ f(x) e−x = 5 Analice la convergencia de la serie ∞∑ n=1 f(n) 2 Ayudant́ıa 3.5 - Ignacio Castañeda - mat1620@ifcastaneda.cl 13. Considere la representación decimal de un número, 0, d1d2d3... = d1 10 + d2 102 + d3 103 donde di es alguno de los d́ıgitos entre 0 y 9. Pruebe que la serie anterior es convergente. 3
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