Ayudantia 6

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Instituto de Econoḿıa
Competencia y Mercados EAE 234 A
Segundo Semestre de 2017
Prof. R. Harrison
Ayudant́ıa de Diferenciación.
José Diego Salas.
Viernes 9 de Junio.
Pregunta 1 [Modelo de Hotelling]
Existe un continuo de consumidores de masa M repartidos uniformemente en la calle lineal de Hotelling
de largo 1. Existen dos firmas i ∈ {1, 2} ubicadas en los extremos de la calle. Existe un costo de
producción constante e igual a c > 0. Cada consumidor compra como máximo una unidad, por la cual
tiene una valoración bruta v y su costo total de comprar es pi + td, donde d es la distancia desde este
consumidor hasta la firma i.
1. Derive las funciones de mejor respuesta cuando v ∈ (c + 2t, c + 3t). Muestre que el único E.N. en este
caso es p∗1 = p
∗
2 = c+ t.
2. Derive las funciones de mejor respuesta cuando v ∈ (c+ 32 t, c+ 2t).
3. Muestre que cuando v < c + t, el único E.N. se da con precios p∗1 = p
∗
2 =
v+c
2 y algunos individuos no
compran en ninguna firma.
4. Demuestre que cuando v ∈ (c+ t, c+ 32 t), el único equilibrio simétrico se da con p
∗
1 = p
∗
2 = v − t2 .
5. Compare el cambio en los precios de equilibrio y en las utilidades de una reducción de t en los casos 1, 2 y 4.
Respuesta:
Pueden existir tres tipos de equilibrio (p∗i , p
∗
j ) en el modelo:
En el equilibrio de tipo 1 el consumidor que esta indiferente entre las dos firmas prefiere, estrictamente,
comprar a no comprar. El consumidor indiferente se encuentra a una distancia x de la firma i, donde
p∗i + xt = p
∗
j + (1− x)t y, por lo tanto, x =
t−p∗i +p
∗
j
2t . La utilidad de este consumidor de comprar en la
firma i es de v − p∗i − xt = v − t2 −
(p∗i +p
∗
j )
2 . El consumidor prefiere comprar estrictamente cuando:
v >
(p∗i + p
∗
j )
2
+
t
2
En un equilibrio como el descrito ambas firmas compiten por una masa positiva de consumidores y la
demanda de cada firma se ve afectada por el precio de la otra.
En el equilibrio de tipo 2 el consumidor que esta indiferente entre comprar en cualquiera de las dos
firmas prefiere, estrictamente, no comprar a comprar. Dada la derivación anterior, esto ocurre si y sólo
si:
v <
(p∗i + p
∗
j )
2
+
t
2
En un equilibrio como este las masas de consumidores que compran en cada firma se encuentran sep-
arados y la demanda de cada firma no es afectada por el precio que pone la otra.
En un equilibrio de tipo 3 el consumidor que esta indiferente entre comprar en cualquiera de las dos
firmas se encuentra indiferente entre comprar y no comprar. Lo anterior, viene dado por:
v =
(p∗i + p
∗
j )
2
+
t
2
En un equilibrio como este si una de las dos firmas baja su precio levemente empieza a robar consum-
idores a la otra firma. Si una de las firmas sube su precio levemente los consumidores, en el margen,
simplemente se pierden y no compran a ninguna de las dos firmas (i.e. dado que estaban indiferentes
si les suben el precio se encuentran mejor no comprando a ninguna).
En un equilibrio de tipo 1 si la firma i cambia su precio de p∗i a pi su demanda estaŕıa determinada
por el consumidor indiferente entre comprar a cualquiera de las dos firmas:
pi + xt = p
∗
j + (1− x)t
xi(pi, p
∗
j ) =
M(t+ p∗j − pi)
2t
El problema de la firma es:
max
pi
(pi − c)
M(t+ p∗j − pi)
2t
Cuya C.N.P.O. es:
M(t+ p∗j − 2pi + c)
2t
= 0
Combinando la C.N.P.O. de ambas firmas (son simétricas) obtenemos que:
p∗i = p
∗
j = c+ t
Ahora, usando la condición para que este sea efectivamente un equilibrio de tipo 1 tenemos que:
v > c+
3
2
t
En un equilibrio de tipo 2 si la firma i cambia su precio levemente de p∗i a pi su demanda estará
determinada por el consumidor a una distancia x < 12 de la firma a la cual esta indiferente entre
comprarle o no:
pi + xt = v
Por lo tanto, xi(pi, p
∗
j ) =
M(v−pi)
t . El problema de la firma es:
max
pi
(pi − c)
M(v − pi)
t
La C.N.P.O es:
(v − 2pi + c)M
t
= 0
De aqui podemos resolver para p∗i y usando el argumento de simetŕıa tenemos:
p∗i = p
∗
j =
v + c
2
La condición para que este sea efectivamente un equilibrio de tipo 2 es:
v < c+ t
En un equilibrio de tipo 3 si la firma sube su precio levemente desde p∗ = v − t2 , a pi su demanda
estaŕıa determinada por el consumidor indiferente entre comprar y no comprar:
pi + xt = v
2
Por lo tanto, xi(pi, p
∗
j ) =
(v−pi)M
t para pi ≥ p
∗
i . Como la firma i busca un pi tal que maximice sus
utilidades, un pequeo aumento en pi desde p
∗
i no debeŕıa incrementar sus utilidades:
∂
∂pi
(pi − c)x∗i (pi, p∗j )|pi=p∗i =
∂
∂pi
(pi − c)
(v − pi)M
t
|pi=p∗i =
(v − 2p∗i + c)M
t
≤ 0
Lo que a su vez implica:
v ≤ 2p∗i − c
Una desviación simétrica por parte de la firma j arroja que:
v ≤ 2p∗j − c
Además, en este tipo de equlibrio, si la firma i baja su precio levemente desde p∗i a pi su demanda
estaŕıa determinada por el individuo indiferente entre comprarle a la firma i y a la firma j:
pi + xt = p
∗
j + (1− x)t
Por lo tanto, xi(pi, p
∗
j ) =
(t+p∗j−pi)M
2t con pi ≤ p
∗
i . Como la firma i elige su precio pi para maximizar sus
utilidades, esto implica que una bajada del precio desde p∗i a pi no debiese incrementar sus utilidades:
∂
∂pi
(pi − c)x∗i (pi, p∗j )|pi=p∗i =
∂
∂pi
(pi − c)
(t+ p∗j − pi)M
t
|pi=p∗i =
(t+ p∗j − 2p∗i + c)M
2t
≥ 0
Lo que implica que:
t+ p∗j − 2p∗i + c ≥ 0
t+ p∗i − 2p∗j + c ≥ 0
De estas dos desigualdades podemos obtener que:
v ≤ c+ 3
2
t
Por lo tanto, este equilibrio sólo se sostiene si:
c+ t ≤ v ≤ c+ 3
2
t
Cuando esta última ecuación se sostiene los precios p∗i = p
∗
j = v − t2 satisfacen todas las condiciones y
es un equilibrio simétrico. Cuando la última condición se satisface con desigualdad estricta existe un
continuo de equilibrios simétricos:
p∗i = v −
t
2
+ �
p∗j = v −
t
2
− �
donde |�| es pequeño.
En un equilibrio de tipo 1 una reducción en el valor de t hace que la competencia sea más intensa
haciendo caer los precios y las utilidades de ambas firmas. Al mismo tiempo, una reducción pequea del
valor de t en un equilibrio de tipo 3 hace aumentar los precios y las utilidades. Sin embargo, cuando
dicha reducción es lo suficientemente grande un equilibrio como el de tipo 3 deja de ser sostenible y el
equilibrio pasa a ser uno de tipo 1.
Pregunta 2 [Diferenciación y Externalidades.]
Los individuos pueden elegir dos opciones k ∈ {A,B}. Existe un costo ck asociacdo a la elección de
k con cB < cA. Cada agente tiene una capacidad θ ∼ U [0, 1]. Nada distingue ex-ante a A o B y
la calidad de cada opción k viene dada por el promedio de θ de los que eligen esa opción, el cual,
denotamos por θ̄k. La utilidad de un individuo que elige la opción k esta dada por:
U(θ, k) = (1 + θ)(1 + θ̄k)− ck
Supondremos ck < 1, ∀k y que cA − cB ∈ ( 12 , 1). La elección es simultánea para todos los individuos.
3
1. Demuestre que en cualquier equilibrio hay individuos eligiendo A y B.
2. Demuestre que θ̂ = 2(cA − cB)− 1, donde θ̂ es la capacidad del individuo indeferente entre elegir A o B.
En equilibrio, con un nivel de corte θ̂, la utilidad total de la economı́a es:
U(θ̂) =
∫ θ̂
0
[(1 + θ)(1 +
θ̂
2
)− cB ]dθ +
∫ 1
θ̂
[(1 + θ)(1 +
1 + θ̂
2
)− cA]dθ
3. Calcule dU
dθ̂
y concluya que el nivel de corte calculado en 2 no es eficiente.
4. Interprete lo encontrado en [3] a la luz de la siguiente afirmación: “si una actividad genera externalidades
negativas, entonces el nivel de esta actividad es muy alto en equilibrio. Si la externalidad generada es
positiva, entonces el nivel de la actividad es muy bajo en equilibrio”.
Respuesta:
Supongamos que todos van al alto:
θ = 1→ U(A, θ = 1) = (1 + 1)(1 + 0.5)− cA = 3− cA
¿Desv́ıo?
U(B, θ = 1) = (1 + 1)(1 + 1)− cB = 4− cB
Por lo tanto, sabemos que no es un EN que todos vayan a A. Veamos el caso en que todos van a B:
U(B, θ = 1) = (1 + 1)(1 + 0.5)− cB = 3− cB
¿Desv́ıo?
U(A, θ = 1) = (1 + 1)(1 + 1)− cA = 4− cA
Usando el supuesto de que cA − cB ∈ (0, 5; 1) sabemos que no es un EN que todos vayan a B.
Para encontrar al consumidor indiferentesabemos que:
(1 + θ̂)(1 + θ̄B)− cB = (1 + θ̂)(1 + θ̄A)− cA
sabiendo que:
θ̄A =
1 + θ̂
2
θ̄B =
θ̂
2
reemplazando en la expresión anterior y con un poco de álgebra tenemos:
θ̂ = 2(cA − cB)− 1
Ahora, utilizando el hint sabemos que:
∂
∫ h(x)
g(x)
f(x, e)de = f(x, h(x))h′(x)− f(x, g(x))g′(x) +
∫ h(x)
g(x)
∂f(x, e)
∂x
de
Usando que x = θ̂ y e = θ aplicamos esta fórmula a las dos expresiones que aparecen en la utilidad
social y obtenemos:
A =
[
(1 + θ̂)
(
1 +
θ̂
2
)
− cB
]
+
∫ θ̂
0
1 + θ
2
dθ
B = −
[
(1 + θ̂)
(
1 + θ̂
2
)
− cA
]
+
∫ 1
θ̂
1 + θ
2
dθ
4
Por lo tanto:
A+B =
∂U
∂θ̂
=
[
(1 + θ̂)
(
1 +
θ̂
2
)
− cB
]
−
[
(1 + θ̂)
(
1 + θ̂
2
)
− cA
]
+
∫ 1
0
1 + θ
2
dθ
Además, por como encontramos θ̂ sabemos que:
∂U
∂θ̂
|θ̂ =
∫ 1
0
1 + θ
2
dθ > 0
Como la derivada es mayor a cero, el equilibrio no es un óptimo de Pareto, ya que se puede aumentar
θ̂ sin empeorar al otro. En este caso las valoraciones más bajas (individuos más a la izquierda) que
van hacia A bajan el promedio de A, pero podŕıan ir a B y subir el promedio de B aumentando el
bienestar social de todos y los individuos del medio podŕıan ser compensados por los individuos de
los extremos. Note que como es un problema en el que existen externalidades tanto positivas como
negativas el primer teorema del bienestar no se cumple.
5