Ayudantia 1 2010 (Pauta)

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Pauta Ayudantía 1 Competencia y
Mercados (ej 4 y 5)
Dudas de esta ayudantía:
Ignacio Parot (ivparot@uc.cl)
Nicolás Rojas (nrojas2@uc.cl)
Ejercicio 4
Nota: Ojo con la pregunta c). Ahí se pone a prueba si dominan el
concepto de ENPS. Si se equivocan al hacer el ejercicio entonces están
mal.
Nota 2: Esta pauta existe solamente porque no se terminaron los
ejercicios en ayudantía.
El mercado por torpedos en Ingeniería Comercial es manejado por
dos individuos: �don Guido�y �el Johnny�.
b) Suponga que las �rmas ofrecen productos diferenciados y cada
una enfrenta una demanda tal que qi = a � pi + �pj (� < 1): Explique
por qué esta demanda es la de dos bienes que están diferenciados.
Sol: La demanda por el bien i es menos sensible al precio del bien
i que al precio del bien j. Si la demanda por el bien i fuera igual de
sensible al precio de i y de j entonces los bienes serían los mismos y
estaríamos en el caso de Bertrand.
NOTA: Ojo que la demanda en competencia Bertrand no es qi =
a�pi+�pj con � = 1:En competencia Bertrand, hay un solo precio y las
�rmas que cobran el precio más barato se reparten la demandaQ = a�P:
Si hay una sola �rma que cobra el precio más barato entonces se queda
con toda la demanda. En ese caso los bienes son idénticos.
i)En el caso de la competencia tipo Bertrand imagine que las 2 �rmas
tienen los mismos precios: ¿Qué pasa con la demanda cuando una �rma
sube el precio?¿Qué le conviene hacer a la otra �rma? ¿Qué pasa cuando
la otra �rma la alcanza?¿Y en este caso?
Sol: En una competencia Bertrand, cuando una �rma sube el precio
la otra �rma se queda con toda la demanda y le conviene subir el
1
precio justo debajo del precio que acaba de subir. Cuando la otra
�rma la alcanza entonces se vuelven a dividir la demanda entre las dos.
En este caso, los bienes no son exactamente iguales. Luego, cuando
una �rma sube el precio la otra empresa recibe más demanda, pero menos
demanda que si los bienes fueran iguales . En términos matemáticos, si
la comeptencia sube su precio en 1, entonces la demanda aumenta en �:
(Nota: Distinto al caso Bertrand en que como vimos, si el competidor
sube el precio, la demanda aumenta muchisimo). Si la segunda �rma
alcanza a la �rma que subió el precio, entonces pierde mucha demanda .
Recuerde que el bien i es diferenciado (ej : Playstation vs Nintendo Wii
). En términos matemáticos, cuando pi sube, la demanda cae más que
lo que subió debido al alza en pj (� < 1). Por lo tanto, si la primera
�rma sube el precio a la otra le conviene subirlo pero en principio
no sabemos cuanto le conviene subirlo porque depende de la cantidad.
Habría que mirar la condición de primer orden.
ii)Las empresas producen a un costo marginal c = 0:Encuentre el
equilibrio de Nash. Cálcule las utilidades para el caso en que a = 10 y
� = 0:5.
Sol:
p = a
2��
� = ( a
2�� )
2
� = ( 10
1:5
)2 = 44:4
c) Las �rmas ahora compiten de manera secuencial. La �rma 1 es-
coge p1 y luego la empresa 2 escoge p2: Encuentre el Equilibrio de Nash
Perfecto en Subjuegos (ENPS), los precios y las utilidades en equilib-
rio.Cálcule las utilidades y los precios de equilibrio para el caso en que
� = 0:5 y a = 10.
¿Se cumple (de manera �gurada por supuesto) que "el que pega
primero pega dos veces" o el que "rie último rie mejor" ? ¿Y en Stack-
elberg?
Sol:
t=2
La �rma 2 escoge p2 de la siguiente manera:
Max p2q2 = (a� p2 + �p1)(p2)
2
De la CPO
p�2 =
a+�p1
2
Luego, en t=1 la �rma escoge p1de la siguiente manera:
Max p1(p2)q1 = (a� p1 + �p�2)(p1) = (a� p1 + �(a+�p12 ))(p1)
Nota: Ojo que la �rma 1 ya pensó bien que va a hacer la �rma 2.
Por lo tanto, se adelanta e incorpora el precio óptimo de la �rma 2. Es
lo mismo que vimos para el caso de Stackelberg.
Antes de maximizar reordenamos (Tip Algebra):
�1 = (a� p1 + �(a+�p12 ))(p1) = (a(1 +
�
2
)� p1(1� �
2
2
))(p1)
De la CPO se obtiene:
@�1
@p1
= (a(1 + �
2
)� 2p1(1� �
2
2
)) = 0
Luego,
a(1 + �
2
) = 2p1(1� �
2
2
))
p�1 =
a(1+ �
2
)
2(1� �2
2
)
= a
2
( 2+�
2��2 )
Por lo que,
p�2 =
a+�p�1
2
= a
2
+ �
2
a
2
( 2+�
2��2 ) =
a
2
(1 + �
2
( 2+�
2��2 ))
(Tip Algebra: En este caso es mucho más práctico no desarrollar.
Para haberse dado cuenta hay que tener práctica y hacer muchos ejerci-
cios)
entonces,
��1 = p
�
1q
�
1 =
a
2
( 2+�
2��2 )(a�
a
2
( 2+�
2��2 ) + �
a
2
(1 + �
2
( 2+�
2��2 )))
= a
2
( 2+�
2��2 )(
a
2
(2+�)�a
2
( 2+�
2��2 )(1�
�2
2
)) = a
2
( 2+�
2��2 )(
a
2
(2+�)�a
2
( 2+�
2��2 )(
2��2
2
))
a
2
( 2+�
2��2 )(
a
2
(2 + �)� a
2
(2+�
2
)) = a
2
( 2+�
2��2 )(
a
2
(2+�
2
))
��1 = p
�
1
a
4
(2 + �)
3
(Tip Algebra: Note que muchas veces, si la variable de decisión es
precio/cantidad, es mejor no tocar esa variable al desarrollar una expre-
sión para la utilidad. )
��2 = p
�
2q
�
2 =
a
2
(1 + �
2
( 2+�
2��2 ))(a�
a
2
(1 + �
2
( 2+�
2��2 )) + �
a
2
( 2+�
2��2 ))
a
2
(1 + �
2
( 2+�
2��2 ))(
a
2
� �
2
a
2
[2( 2+�
2��2 )� (
2+�
2��2 )])
��2 = [
a
2
(1 + �
2
( 2+�
2��2 ))]
2
� = 0:5
a = 10
Entonces,
p1 = 6:785
p2 = 7:14
��1 = 44:61
��2 = 46:03
Luego, el que rie último rie mejor.
ENPS:
p�2 = f(p1) =
a+�p1
2
p�1 =
a
2
( 2+�
2��2 )
IMPORTANTE: El equilibrio de Nash Perfecto en Subjuegos NO
son los precios de equilibrio. Al contrario de los juegos simultáneos,
en que el equilibrio de Nash son las acciones de equilibrio, en los jue-
gos sencuenciales hay que considerar todos los escenarios posibles hacia
atras. Luego, para la �rma que juega primero, su estrategia de equilibrio
efectivamente es la acción de equilibrio ya que no hay nada hacia atrás.
Sin embargo, para la empresa que juega en segundo lugar, su estrategia
de equilibrio es una función de lo que pasó en el primer periodo. Una
estrategia cualquiera del jugador 2 (y por supuesto la de equilibrio tam-
bién) tiene que ser capaz de describir qué hacer en el segundo periodo
ante cualquier eventual escenario pasado.
En conclusión, por de�nición se sabe que el equilibrio de Nash Per-
fecto en Subjuegos es un conjunto de estrategias de equilibrio (nadie
quiere hacer otra cosa, dado la estrategia del otro). Luego, como el pre-
cio de equilibrio del jugador 2 NO es una estrategia a
2
(1 + �
2
( 2+�
2��2 )) es
incorrecto decir que hace parte del ENPS.
4
Esto es importante por que el equilibrio de Nash Perfecto en Subjue-
gos describe de manera completa el comportamiento de las �rmas y no
solamente lo que �nalmente sucede en equilibrio.
d) Compare estas utilidades con el caso simultáneo. A la luz de
lo discutido en la pregunta b) ii, explique por qué en este caso las dos
empresas están mejor que en el caso simultáneo pero la que juega primero
está peor que la otra.
Sol: Las utilidades de ambas empresas son mayores ��2 > �
�
1 >
��Simult�aneo:
En la pregunta b ii) se vió que cuando una �rma sube el precio
entonces a la otra le conviene subir el precio. La �rma que juega primero
aprovecha que es lider para cobrar un precio más alto que el que habría
cobrado si jugaran al mismo tiempo (Importante: siempre podría cobrar
el mismo precio que si jugaran al mismo tiempo). Pero, al contrario del
caso de Stacklberg, la mejor decisión del lider es buena para el seguidor.
Los precios son más altos. Incluso, el seguidor aprovecha la situación,
sube los precios más aún y al �nal está mejor que la �rma lider (ver
números calculados en la pregunta anterior).
En conclusión, en esta pregunta se ha visto como la manera en que
uno entiende el tipo de competencia en el mercado (cantidades vs pre-
cios) y la naturaleza de los bienes (homogéneos vs diferenciados) cambia
radicalmente lo que uno esperaría encontrar en un contexto en que una
�rma juega primero y otra después. En esta pregunta se ha visto como
las dos �rmas se ven bene�ciadas por la secuencialidad del problema y
los consumidores �nalmente pagan un precio muy alto. Además que el
lider el seguidor está peor que el seguidor. En las preguntas anteriores se
vió como en Stackelberg los resultados son distintos. ( Ustedes revisen
más el detalle, está todo en sus cuadernos).
Ejercicio5
Un monopolista maximiza de la siguiente forma:
� = PQ� CT
@�
@p
= Q+ P @Q
@p
� @CT
@Q
@Q
@p
= 0 (1)
5
Dividiendo todo por Q, tenemos:
1 + @Q
@p
P
Q
� CMg @Q
@p
1
Q
= 0
Reordenando:
@Q
@p
P
Q
= �1 + CMg @Q
@p
1
Q
El último término de la derecha es siempre negativo ya que el CMg es
positivo y 1/Q es positivo o in�nito. Como la derivada de la cantidad con
respecto al precio es negativa, entonces el término completo es negativo.
Por lo tanto, el monopolista, para cualquier estructura de costos, nunca
va a operar en un punto elástico de la demanda.
Intuición: La parte elástica de la demanda se encuentra típicamente
para niveles bajos de demanda. Luego, para esos niveles las cantidades
son prorcionalmente muy sensibles al precio. Por lo tanto, cuando el
monopolista baja un peso los precios en ese tramo pierde Q (un peso por
cada unidad que está vendiendo) y pierde el costo adicional que le genera
las unidades extra (@CT
@Q
@Q
@p
=CMG @Q
@p
) pero vende muchas más unidades
lo que le genera una utilidad adicional de P @Q
@p
: Esto va a seguir hasta
que el costo que generan esas unidades sean igual al bene�cio. Como se
vió más arriba esto nunca ocurre en la parte inelástica.
La parte inelástica de la demanda se encuentra para niveles altos de
demanda. Por lo tanto, para esos niveles las cantidades son proporcional-
mente poco sensibles al precio. Luego, cuando el monopolista sube un
peso (mirar ecuación (1) ) los precios gana Q (un peso por cada unidad
que sigue vendiendo) y se ahorra el costo adicional de las unidades que
deja de producir. Por otro lado pierde P @Q
@p
. Esta pérdida no es tan
grande comparado con las ganancias del ahorro en costo y el precio más
alto de las unidades adicionales. Luego, el monopolista sube el precio en
la parte inelástica hasta llegar a la parte elástica.
Recordatorio: La parte inelástica de la demanda es cuando la elasti-
cidad precio de la demanda ( �%Q
�%P
= @Q
@p
P
Q
) es, en valor absoluto, menor
que uno. Es decir, la cantidad es proporcionalmente poco sensible al
precio. Lo contrario ocurre cuando la elasticidad es, en valor absoluto,
mayor a uno. Si la demanda es lineal, la elasticidad NO es constante.
Pregunta: Desupúes de responder a esta pregunta: ¿Si la demanda
fuera de elasticidad constante, cómo tendría que ser la elasticidad para
que hubiera un monopolio, por qué?
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