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Ayudantia 5 2010 (Pauta)

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1. Una empresa eléctrica enfrenta una demanda en horario punta y otra en
valle, cada una correspondiente a 12 horas diarias. Las demandas son las
siguientes:
pp = 110� qp
pv = 60� 2qv
La empresa tiene una restricción máxima de 40 kw por cada 12 horas.
Existen costos de producción unitarios �jos y variables, respectivamente de
$50 y $10 cada uno.
a) Dada la restricción máxima existente determine los precios óptimos de punta
y valle, que maximizan el bienestar social.
b) Si la empresa pudiese elegir la restricción máxima, ¿cuál sería?. Determine
los precios que maximizan el bienestar social.
Respuesta:
En la pregunta de la ayudantía no se aclara que los precios son los que
maximizan el bienestar social por eso se agregó a la pregunta de esta pauta.
Al encontrar el óptimo social sabemos que P = CMg
a) Hacer grá�co y ver que la demanda de valle no presiona. Por lo tanto el precio
de valle está determinado por el costo marginal y la cantidad donde este
corta con la demanda:
10 = 60� 2qv
qv = 25
pv = 10
En el grá�co vemos que la demanda punta excede a la capacidad máxima,
de esta manera el precio que se cobra es tal que los consumidores demanden
exactamente las 40 unidades:
pp = 110� 40
pp = 70 > 10 + 50
b) Si la empresa puede elegir la capacidad va a aumentarla hasta que el costo
total por unidad corte con la demanda alta.
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De esta manera la capacidad óptima está determinada por:
pp = 10 + 50 = 110� k�
k� = 50
Entonces,
pv = 10; qv = 25
pp = 60; qp = 60
k� = 50
2. En la temporada de invierno una empresa de minibuses a Farellones se
enfrenta con el problema de que muchas de las personas que suben a la
nieve no quieren bajar el mismo día y por ello los buses podrían bajar con
capacidad ociosa.
Las demandas diarias de cada persona por viajes de subida y bajada son:
Db = 50� 1:6pb
Ds = 20� 0:1ps
Cada minibus tiene capacidad para 8 personas por viaje. El costo de capital
y de salrio del chofer del minibus es 780 + 120x, donde x es el número de buses
destinados a subir a la nieve al día. Además, el costo del minibus por cada
subida a la nieve depende de que tan cargado esté y es 7 + 2n2, donde n es el
número de pasajeros por bus.
a) La empresa está estudiando la política de tener los buses siempre llenos.
Determine los precios que maximizan la utilidad en este caso.
b) Ahora la empresa está evaluando dejar algunos asientos vacíos. Determine
los precios que maximizan la utilidad en este caso.
Respuesta:
Pensandolo bien, el ejemplo de un minibus no es tan bueno porque es raro
que alguien quiera subir y bajar más de 1 vez pero como esto no es imposible y
tiene lóguca económica igual sirve.
a) Debemos encontrar el precio que maximiza la utilidad dado que cada bus
tiene 8 asientos.
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Cada viaje, subida o bajada, tiene asociado un ingreso y un costo marginal
según cuantas personas vayan dentro del bus. En este caso la capacidad está
presionada en la subida y la bajada (por enunciado) y por eso los costos �jos se
reparten entre ambas.
El costo marginal de subir y de bajar será el mismo en este caso pero el
ingreso será distinto debido a que las demandas son diferentes. Por esto, nece-
sitamos encontrar el ingreso neto de cada demanda para luego compartir los
costos que son comunes entre cada una de ellas.
Primero, el costo marginal es el mismo para cada demanda y está determi-
nado por
@(7 + 2q2)
@q
= 4q
Para los viajes de bajada:
31: 25� 0:625 qb = pb
(31: 25� 0:625 qb)qb = ITb
31: 25� 1: 25qb = IMgb
31: 25� 5: 25qb = INetob
Para los viajes de subida:
200� 10qb = pb
(200� 10qb)qb = ITb
200� 20qb = IMgb
200� 24qb = INetob
Supongamos que hay X buses, por lo tanto, se transportan como máximo
8X pasajeros. De esta manera, q = 8X:
Asumiendo que el bus siempre va lleno (8 personas por cada viajes) el número
de buses óptimo X� al día está determinado por:
(31: 25� 5: 25 � 8X�) � 8 + (200� 24 � 8X�) � 8 = CMgporbus
CMgporbus = 120
(31: 25� 5: 25 � 8X) � 8 + (200� 24 � 8X) � 8 = 1850:0� 1872:0X = 120
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X� = 0:924 15
q = 0:924 15 � 8 = 7: 393 2
Entonces el precio de subida y bajada es:
ps = 126
pb = 26; 6
b) Para analizar si es conveniente dejar asientos vacíos hay que ver el signo del
ingreso neto dado que hay 7.4 personas en total que viajan:
Bajada: 31: 25� 5: 25 � 7:4 = �7: 6; la capacidad está sobre utilizada: en el
óptimo no presiona la capacidad.
Subida: 200� 24 � 7:4 = 22: 4; la capacidad está sub utilizada: en el óptimo
presiona la capacidad.
En el caso de los viajes de bajada es conveniente dejar asientos vacíos. El
número de personas óptimo en viajes de bajada es:
31: 25� 5: 25 � q = 0
q = 5: 952 4;personas por bajada.
Entonces el precio en este caso sería pb = 27:5
Ahora sólo la demanda de subida presiona la capacidad por eso ella deter-
mina el número de buses:
(200� 24 � 8X) � 8 = 120
X� = 185192 = 0:963 54
El número total de personas en viajes de subida es 8 � 0:963 54 = 7: 708 3 y
el precio ps = 123:
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