Ayudantía 1 2020-1 (S)

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
ESCUELA DE ADMINISTRACIÓN 
 
 
 
AYUDANTÍA Nº 1 
 
CONTABILIDAD Y TOMA DE DECISIONES 
 
 
 
 
 
 
 
TEMA I 
Nicolás, un novato de ingeniería comercial UC con sólo un par de semestres en la universidad ya se siente capacitado 
para invertir todo su dinero $100.000 hoy (t=0), pues está convencido de que si pudo pasar Contabilidad II, cualquier 
cosa es posible. Dado que quiere ser millonario lo antes posible, Nicolás tiene dos opciones: 
 
• Invertir en el nuevo proyecto de limpieza de playas llamado Ucéanos. 
• Invertir en bonos del CAAE, que se creen menos riesgosos. 
 
Invertir en el proyecto le ofrece un retorno del 30% si es que en la fecha de las operaciones el cielo está despejado y 
hace calor, lo cual pasará con un 60% de probabilidad, mientras que enfrentará una pérdida de un 30% si es que el fin 
de semana en que se hagan las operaciones llueve (asuma que no existe otra opción más que estas dos). Por otra parte, 
los bonos del CAAE le ofrecen un retorno del 5% con un 90% de probabilidad, y de un 4% de tener mala suerte; 
suponga además que Nicolás debe invertir en alguna de estas dos opciones, sin poder dejar su riqueza en su cuenta 
corriente. 
 
a) Dibuje el árbol de decisión. 
 Sube 
$130.000 
 Ucéanos 60% 
 40% 
 
$70.000 Baja 
 
 
 Suerte 
$105.000 
 90% 
 Bonos CAAE 10% 
 
$104.000 Mala Suerte 
 
b) Si suponemos que Nicolás es neutral al riesgo, ¿Qué decisión tomaría? 
Dudas de esta ayudantía: 
Daniel Dueñas – dnduenas@uc.cl 
Pedro Íñiguez– pfiniguez@uc.cl 
Profesores: 
Leonardo Hernández 
Vincent Van Kervel 
Eduardo Walker 
 
Ayudante Coordinador: 
Ismael Araya Lira 
Fecha: 2020 – 1S 
 
Ayudante Coordinador: 
Ismael Araya Lira 
Marion Eichhorn von Schultzendorff 
Antonio maximizará su riqueza esperada, por lo que elige invertir en Ucéanos. 
- Ucéanos: E(w) = 0,6 * $130.000 + 0,4 * $70.000 = $ 106.000 
- Bonos CAAE: E(w) = 0,9 * $105.000 + 0,1 * $104.000 = $104.900 
 
c) Si suponemos que Nicolás es averso al riesgo, y que la función de utilidad que mide su bienestar es U(w) = 
√w, ¿Qué decisión tomaría? 
 
Antonio ahora maximizará su utilidad esperada, por lo tanto, elige invertir en bonos CAAE. 
- Ucéanos: E[U(w)]= 0,6 * √130.000 + 0,4 * √70.000 = 322,16 
- Bonos CAAE: E[U(w)]= 0,90 * √105.000 + 0,10 * √104.000 = 323,88 
 
d) ¿Difieren los casos anteriores? Explique cualquier cambio, independiente de si cambia o no la decisión final. 
 
En la letra b) Nicolás es neutral al riesgo, por lo que maximizar su utilidad es equivalente a maximizar su 
riqueza esperada. En la letra c) Nicolás es averso al riesgo, no le gusta correr riesgo, lo cual se ve en su 
función de utilidad, la cual es creciente y cóncava, es decir, a mayor riqueza, mayor utilidad, pero cada vez 
menos (U(w)’>0, U(w)”<0 … (en el gráfico de equivalente cierto de la pregunta siguiente explicar esto ya 
que queda más claro). Entonces, los pagos con menor dispersión (riesgo) le brindan a Nicolás una mayor 
utilidad esperada, pues él “castiga” los pagos más volátiles dada su aversión al riesgo. 
 
e) Explique brevemente que entiende por equivalente cierto y calcúlelo para el caso del proyecto Ucéanos. 
 
El equivalente cierto es el monto cierto que se está dispuesto a recibir a cambio de un pago incierto futuro. 
Es el monto que deja a Nicolás indiferente entre recibirlo con certeza (asegura su riqueza “pagando” por 
evitar la incertidumbre) y correr el riesgo anterior (que le otorgaba 106.000 esperados, pero inciertos). 
 
W* = U-1(E[U(w)]) = 322,16^2 = $103,787 
 
TEMA II 
Suponga un mundo en el cual existen los individuos A, B y C. Sus funciones de utilidad son: 
UA(w)= aw, UB(w)= b∗ln(w) y UC(w)= cw2 , donde a, b y c son parámetros mayores a cero. Existen dos juegos 
posibles: 
• Juego 1: Dos escenarios posibles w=100 y w=200, ambos con probabilidad 0,5. 
• Juego 2: Dos escenarios posibles w= 50 y w=250, ambos con probabilidad 0,5. 
a) ¿Son estos individuos aversos, neutrales o amantes del riesgo? Demuestre. 
Basta con sacar las derivadas de segundo orden. 
A→ Primera=a y Segunda=0 
B→ Primera=b/w y Segunda=-b/w2 
C→ Primera=2cw y Segunda=2c 
Como a, b, c >0, entonces A es neutral, B es averso y C es amante 
 
b) Frente a estas dos opciones, ¿Cuál juego escoge cada uno? ¿Por qué? 
Existen dos caminos: 
Corto: Basta con calcular la riqueza esperada de ambos juegos (150) y realizar el siguiente razonamiento: Dado que 
la riqueza esperada es la misma, el juego que elijan dependerá de cuál es su postura frente al riesgo, ya que eso es lo 
que determina cual maximiza su utilidad esperada. Como B es averso, elige el juego menos riesgoso (juego 1). Como 
C es amante, elige el juego 2. Como A es neutral, le da lo mismo. 
Largo: Calcular todas las utilidades esperadas y comparar: 
A→ Juego 1: 0,5*100a + 0,5*200a = 150a vs Juego 2: 0,5*50a + 0,5*250a = 150a 
Por lo tanto está indiferente. 
B→ Juego 1: 0,5*b*(ln100+ln200) = 4,95b vs Juego 2: 0,5*b*(ln50+ln250)= 4,72b 
Prefiere el juego 1. 
C→Juego1: 0,5*c*(1.002+2.002) = 25.000c vs Juego 2: 0,5*c*(502+2.502)=32.500c 
Prefiere el juego 2. 
Evidentemente, da lo mismo cuáles son los valores de a, b y c. Podrían reemplazar con cualquier número y la 
conclusión es la misma. 
 
 
c) Suponga ahora que el individuo C fuera seleccionado para jugar el juego 1 y el individuo A fuera seleccionado 
para jugar el juego 2. Ante esto, C tiene la posibilidad de pagarle a A para que intercambien juegos. ¿Cuánto 
es lo mínimo que A estaría dispuesto a recibir por cambiarse al juego 1? ¿Existe espacio para la negociación 
entre ambos? Justifique. 
Sabemos que C prefiere el juego 2, pero lo clave es que A, dado que es neutral, está indiferente entre los juegos, por 
lo tanto siempre aceptará dinero por cambiarse de juego, ya que le da lo mismo. Cualquier valor ínfimo mayor a 
cero haría que A se cambiara de juego. Formalmente, para cualquier ε>0; A se cambia. Sabemos, por otra parte, que 
C prefiere el juego 2. Por lo tanto, sí existe espacio de negociación entre ambos. El maximo que C esta dispuesto a 
pagar por el cambio, respuesta es en pago tal que para C el EqCierto(juego 1)==EqCierto(juego 2-pago) 
 
 
d) Suponga que de otro planeta aparece el individuo D. Su función de utilidad es UD(w)= b∗ln(w − α), 
dónde α>0. Suponga que tanto el individuo B como el individuo D tienen la posibilidad de recibir una riqueza 
cierta en vez de jugar el juego 1 o 2. Entre el individuo B y el individuo D, ¿quién estaría dispuesto a recibir 
una menor riqueza cierta? ¿Por qué? 
El camino corto es ver cuál es más averso, a través de la segunda derivada: 
B→ Su segunda derivada es –b/w2 
D→ Su segunda derivada es –b/(w-α)2 
Como α>0, –b/w2 > –b/(w-α)2. Dado lo anterior, D es más averso y por lo tanto tendrá un equivalente cierto menor. 
El camino largo sería calcular los equivalentes ciertos (recuerdenles cómo hacerlo, pero no lo calculen). 
Tema III 
Víctor, destacado fotógrafo y fan de “Blanco y Negro”, tiene una función de utilidad de U(w) = ln(w), y tiene w = 100 
para invertir, en alguna de las siguientes opciones de eventos (a él le pagan por tomar fotos de los partidos, pero a 
costa de que invierta inicialmente sus 100): 
1) Peñarol: Paga 100 con 60% de probabilidad (S1= “ganan”), y paga 200 con 40% de probabilidad (S2= 
“pierden”). 
2) Paranaense: Paga 300 con 60% de probabilidad (S1= “ganan”), y paga 38,49 con 40% de probabilidad (S2= 
“pierden”). 
 
a) ¿Qué opción elige Víctor? Encuentre la utilidad esperada y el equivalente cierto en cada caso, y grafique ambas 
situaciones en un solo gráfico. ¿con cuál caso obtiene una mayor ganancia esperada (flujo esperado menos 
inversión)? 
Peñarol: 
• E(w) = 60%*100 + 40%*200 = 140 
• E[U(w)] = 60%ln(100) + 40%ln(200) = 4,8824 
• w* = U-1(E[U(w)]) = e^(4,8824) = 131,947. 
Paranaense: 
• E(w) = 60%*300 + 40%*38,49 = 195,396 
• E[U(w)]= 60%ln(300) + 40%ln(38,49)= 4,8824 
• w* = U-1(E[U(w)]) = e^(4,8824) = 131,947. 
La opción Paranaense le reporta a Víctor una mayor riqueza esperada, sin embargo, como es averso al riesgo toma 
decisiones basadas en su utilidad esperada y esta es la misma con ambas opciones. Está indiferente entre cual 
elegir. 
Alfa = Peñarol, Beta = Paranaense. El equivalente cierto es aquel monto cierto que reporta la misma utilidad que 
la utilidad esperada. En este caso ambos equivalentes ciertos se encuentran en la intersección de la línea naranja 
con la azul. Las líneas punteadas muestran las esperanzas de la riqueza de cada opción. Las líneas verde y roja se 
grafican trazando una recta que une los dos pagos posibles. Importante que alumnos entiendan el gráfico y saquen 
conclusiones de qué pasa cuando los pagos se alejan más o menos entre sí. 
 
b) A Víctor le ofrecen una nueva opción: con 50% de probabilidad entregará los pagos de Peñarol (en cada estado) 
y con 50% de probabilidad entregará los pagos de Paranaense (en cada estado). Por ejemplo, si ocurre el estado 
1, hay 50% de probabilidad de recibir 100 y 50% de recibir 300. Evalúe este nuevo “instrumento financiero” y 
explique si Víctor estaría dispuesto a aceptar este nuevo trato. 
Sabemos que Víctor es averso al riesgo por lo que para aceptar este trato debemos evaluar la esperanza de la 
utilidad del instrumento financiero. 
E(w) = 0,6 * (0,5 *100 + 0,5 * 300) + 0,4 * (0,5*200 + 0,5*38,49) = 0,6 * 200 + 0,4 * 119,2 = 167,698. 
E[U(w)] = 0,6[0,5*ln(100)+0,5*ln(300)] (en caso de estado 1) + 0,4[0,5*ln(200)+0,5*ln(38,49)] (en caso de 
estado 2) = 4,8824. 
Por lo tanto, estaría indiferente entre ambas opciones 
c) A Víctor ahora le ofrecen un contrato alternativo. Por los mismos 100, puede invertir ½ de Peñarol y ½ de 
Paranaense. ¿Estaría dispuesto a hacerlo? Encuentre la nueva utilidad esperada y el nuevo equivalente cierto. 
Ubique este punto en el gráfico que hizo para la parte a). Explique la intuición de su resultado, comparado con 
b). 
E(w) = 0,6[(100+300)x0,5] + 0,4[(200+38,49)x0,5] = 0,6*(200) + 0,4*(119,2) = 167,698 
E[U(w)] = 0,6[ln(200)] + 0,4[ln(119,2)] = 5,0915 
W* = e^(5,0915) = 162,6336. 
 
*Para el gráfico, hacer nueva línea recta de 119,2 a 200 ( E(w)), con nueva utilidad y nuevo equivalente 
cierto. 
Como sabemos, Víctor es un agente averso al riesgo, por lo que sus decisiones dependen de la cantidad de 
riesgo que presente un instrumento financiero. El instrumento de b) combina ambos instrumentos, y nos 
brinda una riqueza esperada promedio, pero no nos disminuye la volatilidad de los mismos, no hay 
“diversificación” propiamente tal, sigue dependiendo del estado de la naturaleza que ocurra y hay una 
probabilidad de recibir cada pago. En C) en cambio, sí diversificamos nuestra inversión, pues invertimos en 
fracciones de los activos anteriores (si o si tenemos la mitad de cada activo por lo que da igual que estado 
ocurra recibiré la mitad de los pagos de ambos activos), obteniendo la misma riqueza esperada que en B, pero 
disminuyendo la volatilidad de los pagos, por lo tanto, su riesgo, y por lo tanto, aumentando la utilidad 
esperada de Víctor. 
Tema IV (Propuesto) 
Patricio y Manuel son primos. La riqueza de Patricio es un juego con igual probabilidad paga 150 y 50. Su función 
de Utilidad es 𝑈(𝑤) 	= 	𝑤!.#. La riqueza de Manuel también es un juego que paga con igual probabilidad 110 y 80. 
Su función de utilidad es 𝑈(𝑤) 	= 	𝑤!.$. 
a) ¿Estarán dispuestos Patricio y Manuel a intercambiar sus juegos sin más compensación? Explique el por 
qué y grafique solo el caso de Patricio. 
 
a) Intercambiar acciones 
Patricio Antes U(w) = 	0,5 ∗ 150!,# + 0,5 ∗ 50!,# = 9,659 
Patricio Después U(w) = 	0,5 ∗ 110!,# + 0,5 ∗ 80!,# = 9,716 
9,716 > 9,659 Le conviene a Patricio 
Manuel Antes U(w) = 	0,5 ∗ 110!,$ + 0,5 ∗ 80!,$ = 38,13 
Manuel Después U(w) = 	0,5 ∗ 150!,$ + 0,5 ∗ 50!,$ = 38,96 
38,96 > 38,13 Le conviene a Manuel 
Los dos están dispuestos a intercambiar sus juegos 
Gráfico caso Patricio (Tratar de hacerlo por partes para no enredar a los alumnos) 
 
(revisar escala gráfico, para que línea verde quede tocando fdu) 
 
b) ¿Si las acciones fueran independientes, estarían dispuestos los primos a asociarse y compartir las ganancias? 
Si se asocian, hay cuatro combinaciones de los pagos con igual probabilidad, en las que ambos reciben la mitad de 
los siguientes pagos: 
- 260 = (150+110) 
- 160 = (110+50) 
- 230 = (150+80) 
- 130 = (80+50) 
E(Upatricio(w)) = 0,25 ∗ (&'!
&
)!,# + 0,25 ∗ (('!
&
)!,#	+	0,25 ∗ (&)!
&
)!,# + 0,25 ∗ (()!
&
)!,# = 9,78 
E(Umanuel(w)) = =	0,25 ∗ (&'!
&
)!,$ + 0,25 ∗ (('!
&
)!,$ +	0,25 ∗ (&)!
&
)!,$ + 0,25 ∗ (()!
&
)!,$ = 38,78 
Si les conviene 9,78 > 9,659 y 38,78 > 38,13