Ayudantía 2 2020-2 (S) docx

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Tema I 
Don Gumercindo, agricultor de la zona central del país, necesita decidir si sembrar o no su 
parcela esta primavera. La siembra cuesta $500 (millones), cifra que él tiene debajo del colchón. 
El resultado de la cosecha a fines del verano dependerá de cuán severa sea la sequía los próximos 
meses. Los estados de la naturaleza posibles y resultados asociados después de haber hecho la 
inversión (en $MM) son los siguientes: 
Estados Prob Resultado 
1 0.4 500 
2 0.3 1500 
3 0.2 2500 
4 0.1 3500 
Don Gumercindo, quien es neutro frente al riesgo, tiene la opción de invertir su capital en un 
negocio alternativo cuyo retorno (rentabilidad) es de 20% independiente de lo que pase con la 
sequía. El costo por el uso de la tierra es cero. 
a) Dada la información entregada, ¿debería don Gumercindo sembrar su parcela o invertir en el 
proyecto alternativo? 
Don Gumercindo debería sembrar. La riqueza esperada es de $1,500 (neto de la 
inversión) mientras que si invierte es solo de $600 
Estados Prob Neto E( ) 
1 0.4 500 200 interest rate 0.2 
2 0.3 1500 450 Alternativa 600 
3 0.2 2500 500 
4 0.1 3500 350 
 1 1500 
 
b) Un amigo de don Gumercindo, Florentino, quien sufre de una extraña condición, le dice que 
el dolor en sus huesos es un muy buen predictor de la severidad de la sequía. En particular, 
hay 4 posibles señales: si le duelen nada (Y1), casi nada (Y2), algo (Y3) o mucho (Y4) los 
huesos. Don Florentino, que es amigo de don Gumercindo, le va a contar cuánto le han 
dolido los huesos y le va a cobra apenas $5MM por entregarle la señal. El desempeño del 
sistema de información “El Florentino” en el pasado se muestra en la tabla siguiente: 
P(Y/S) Y1 Y2 Y3 Y4 P(S) 
S1 0.8 0.2 0 0 0.4 
S2 0 0.766 0.234 0 0.3 
S3 0 0 0.85 0.15 0.2 
S4 0 0 0.1 0.9 0.1 
Se pide: ¿Compra don Gumercindo el sistema de información que le ofrece Florentino? ¿Por 
qué? Explique su respuesta (trabaje con 2 decimales) 
El sistema de Florentino vale $32MM (1.532 – 1.500) para Gumercindo. Como el costo 
es de solo $5MM, la riqueza esperada es de $1527 >> $1500. Don Gumercindo si 
contrata a Florentino. 
P(Y/S) Y1 Y2 Y3 Y4 P(S) P(S/Y1) P(S/Y2) P(S/Y3) P(S/Y4) 
S1 0.8 0.2 0 0 0.4 1 0.258 0.000 0.000 
S2 0 0.766 0.234 0 0.3 0 0.742 0.281 0.000 
S3 0 0 0.85 0.15 0.2 0 0.000 0.679 0.250 
S4 0 0 0.1 0.9 0.1 0 0.000 0.040 0.750 
P(Y) 0.32 0.31 0.25 0.12 
 
FC 
c/proy 500 1241.8 2259.4 3250.0 
 
FC 
s/proy 600 600.0 600.0 600.0 
 best 600 1241.8 2259.4 3250.0 
 E( ) 1532 
 
c) Suponga aparece el Instituto de Meteorología del Centro, IMCE, que puede pronosticar ​sin 
error el estado de la naturaleza que se dará este verano. Este servicio ¿vale más o menos que 
“El Florentino para Gumercindo? ¿Por qué? Dada su respuesta anterior, ¿compra don 
Gumercindo este servicio? Explique su respuesta. (No es necesario hacer cálculos; basta una 
respuesta intuitiva) 
La información perfecta vale más a pesar que no cambia las decisiones respecto del caso 
en b) dadas las señales. Vale más porque es de mejor calidad. Se puede demostrar que 
el sistema IMCE vale para Don Gumercindo $40MM porque aumenta el E(FC) cuando se 
dan las señales Y2-Y4. Gumercindo lo compra y reemplaza a Florentino si el precio del 
sistema IMCE es tal que su riqueza esperada aumenta. 
P(Y/S) Y1 Y2 Y3 Y4 P(S) P(S/Y1) P(S/Y2) P(S/Y3) P(S/Y4) 
S1 1 0.4 1 0 0 0 
S2 1 0.3 0 1 0 0 
S3 1 0.2 0 0 1 0 
S4 1 0.1 0 0 0 1 
 0.4 0.3 0.2 0.1 
 
FC 
c/proy 500 1500 2500 3500 
 
FC 
s/proy 600 600 600 600 
 best 600 1500 2500 3500 
 E( ) 1540 
 
 
TEMA II 
Un juez tiene que juzgar a un acusado y decidir si condenarlo o absolverlo. En promedio los 
acusados son culpables con 30% de probabilidad (S1) o inocentes con 70% de probabilidad (S2). 
El fiscal tiene que hacer una investigación para averiguar si el acusado es verdaderamente 
culpable o no. La investigación genera una señal que puede tomar los valores ​c ó ​i (señal c = 
culpable ó i = inocente) la que, lamentablemente, es ruidosa. 
Suponemos que el tipo de investigación puede ser muy detallada o cruda (por ejemplo, el fiscal 
decide el número de investigadores en un caso; si incluir o no un análisis de ADN; y el detalle 
con que se entrevista a los testigos). 
El fiscal puede hacer una investigación detallada o una más cruda, las que generan los siguientes 
sistemas de información: 
Investigación detallada 
P(Y|S) señal 
 c i p(s) 
S1 (culpable) 0.8 0.2 0.3 
S2 (inocente) 0.1 0.9 0.7 
 
Investigación cruda 
P(Y|S) señal 
 c i p(s) 
S1 (culpable) 0.15 0.85 0.3 
S2 (inocente) 0.05 0.95 0.7 
 
Este juez sí es bueno en estadística y sabe aplicar la regla de Bayes. Suponemos que el juez, que 
es racional en sus decisiones, usa el siguiente criterio: decide condenar cuando la 
P(culpable|señal) ≥ 0,5; y decide absolver cuando P(culpable|señal) ≤ 0,5. 
i.¿Cuál es la probabilidad de que el juez decida condenar después que el fiscal llevó a cabo cada 
tipo de investigación (detallada o cruda)? 
ii.En su opinión, para cada tipo de investigación, ¿es este juez justo o no? (justo significa que se 
condena a los culpables y se absuelve a los inocentes) 
iii.¿El juez condena demasiados o muy pocos acusados? Calcúlelo para ambos tipos de 
investigación. 
Abajo vemos que P(S1|y1)>0.5, entonces dado Y1 el juez condena. P(S1|y2)<0.5, entonces dado 
y2 el juez absuelve. 
Sí es injusto, porque hace varios errores (tipo 1 y tipo 2), es decir, al recibir Y1, hay una 
probabilidad de 22.5% que el acusado es inocente. 
La investigación detallada tiene P(Y1) = 0.31, lo que es cerca de P(S1) = 0.3, entonces no 
condena demasiado o muy poco. 
 
 
señal 
1 
(detalla
) 
 
P(Y|S
) c i 
p(s
) 
P(S|y1
) 
P(S|y2
) 
S1 0.8 0.2 0.3 
0.7741
9 
0.0869
5 
S2 0.1 0.9 0.7 
0.2258
0 
0.9130
4 
P(Y) 0.31 0.69 
 
Abajo vemos que P(S1|y1)>0.5, entonces dado Y1 el juez condena. P(S1|y2)<0.5, entonces dado 
y2 el juez absuelve. 
 ​Sí es muy injusto, porque hace varios errores (tipo 1 y tipo 2), es decir, al recibir Y1, hay una 
probabilidad de 43.75% que el acusado es inocente! 
La investigación cruda tiene P(Y1) = 0.08 , lo que es muy poco (y lejos de P(S1)=0.3), entonces 
condena muy poco. 
 
señal 
2 
(crudo
) 
P(Y|S
) c i 
p(s
) 
P(S|y1
) 
P(S|y2
) 
S1 0.15 0.85 0.3 
0.562
5 
0.2771
7 
S2 0.05 0.95 0.7 
0.437
5 
0.7228
2 
P(Y) 0.08 0.92 
 
i. Con esta señal 3 y el criterio de decisión del juez racional, ¿cuál es la probabilidad de que se 
condene a un acusado después de la investigación? Explique en detalle las características de 
las señales y sus consecuencias para el juez. Recuerde que el juez condena cuando 
P(culpable|señal) ​≥​ 0,5 y absuelve cuando P(culpable|señal) ​≤​ 0,5 
 señal 3 
P(Y|S) c=y1 i=y2 p(s) P(S|c) P(S|y2) 
S1 
(culpable) 1 0 0.3 0.5 0 
S2 
(inocente) 
0.42857
1 
0.57142
9 0.7 0.5 1 
P(Y) 0.6 0.4 
 
Al tener P(y2|S1)=0, obtenemos que (P(S1|Y2)=1. Entonces, si el fiscal dice ‘inocente’) el juez 
está seguro que el cliente es inocente (P(S1|i)=1). Poniendo ​P(y2|S1)=0, baja la P(y2) y sube 
P(y1)​ (2 puntos) 
Cuando sale señal c (y1), hay mucho incertidumbre:​ P(S1|y2)=0.5 y P(S2|y1)=0.5, entonces el 
juez justo esta indiferente​ entre condenar y absolver. Según su regla, decide condenar. (2 
puntos) 
La probabilidad de condenar ahora​es P(Y1) = 0.6​, lo que es lo máximo posible . El fiscal gana 
en 60% de los casos; aunque solo 30% de los acusados son culpables. Eso implica que la mitad 
de los condonados son inocentes (2 puntos) 
 
El juez pide una nueva señal, la cual tiene las siguientes características: 
 señal 4 
P(Y|S) c i 
S1 (culpable) 1 0 
S2 (inocente) 4/7 3/7 
 
i. ¿Qué pasaría en esta situación? 
 
 
 
 
 
 
 
Tema III Comentes Aplicados 
 
1. Mi jefe es un cabeza dura. No tiene sentido que me pida hacer estudios pues casi nunca 
cambia de opinión”. Ilustre la verdad de esta afirmación utilizando el Teorema de Bayes 
(suponga dos estados y dos señales; utilice una expresión para las probabilidades revisadas). 
 
 
2. Considere la aproximación de segundo orden vía series de Taylor de una función en torno al 
valor esperado del argumento de la función (que puede ser la riqueza). A la luz de dicha 
aproximación, comente el sentido de la siguiente afirmación: “A río revuelto, ganancia de 
pescadores”, identificando el sentido figurado del río revuelto y de los pescadores. 
 
 
3. 
i. ¿Puede darse lógicamente un caso como el descrito en el siguiente cuadro? Si así fuera, ¿qué 
valores deben tomar ​w, x, y, z ​y ​a​? 
 
 
La forma más fácil de resolverlo es notando que 𝜋 = 𝑝(𝑦1)𝜋(𝑠1|𝑦1) + (1 − 𝑝(𝑦1))𝜋(𝑠1|𝑦2). Puesto 
que 𝜋(𝑠1|𝑦1) = 𝜋(𝑠1|𝑦2) = 𝑎, entonces 𝜋 = 𝑎. 
 
 
 
 
 
ii. Suponiendo que los estados de la naturaleza reflejan cambios en el PIB Chileno el siguiente 
año, pudiendo ser un aumento (S1) o una disminución (S2). Dé un ejemplo de una señal que 
cumpliera con las características del cuadro. ¿Cuánto cree que vale un sistema de información 
con estas características? 
Ese sistema no tiene valor, porque con cada señal las creencias son iguales. Es decir, la señal 
tiene nada que ver con los estados de la naturaleza. 
Un ejemplo sería tirar una moneda que da cara o sello, lo que es completamente independiente 
de los estados de la naturaleza.