Ayudantía 1 Enunciado

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE 
INSTITUTO DE ECONOMÍA 
AYUDANTIA N°1 - ECONOMETRÍA 
TEMA I 
Sea 𝑋𝑛𝑥𝑘 una matriz de rango completo, y sean 𝑃 y 𝑀 matrices tales que: 
𝑃 = 𝑋(𝑋′𝑋)−1𝑋′ , 𝑀 = 𝐼 − 𝑃. 
Se pide que: 
a. Calcule 𝑃2 y 𝑀2. 
b. Calcule 𝑃 × 𝑀, 𝑀 × 𝑃, 𝑃 × 𝑋 y 𝑀 × 𝑋. 
c. Demuestre que la traza de 𝑀 es igual a (𝑛 − 𝑘). 
d. Sean 𝐵 y 𝐶 matrices tales que 𝐵 = [
1 0 2
1 1 −1
] y 𝐶 = [
−1 −1
0 −1
−2 1
], y sea 𝑧 un vector tal que 
𝑧 = (
𝑧1
𝑧2
). Calcule 
𝜕𝑧′𝐵𝐶𝑧
𝜕𝑧
. 
 
TEMA II 
En 2015, el Ministerio de Salud publicaba un informe sobre las principales tendencias en salud de los 
chilenos. Entre otras cosas, el informe destacaba que en 2014 el gasto de bolsillo en salud promedio 
por persona era igual a $21.100 mensuales. Un investigador sospecha que dicho monto podría 
haberse reducido a partir de la aparición de los medicamentos bioequivalentes, dado que el gasto en 
medicamentos representaba aproximadamente un 36% del gasto total en salud. Para evaluar esta 
hipótesis, accede a datos provenientes de una muestra aleatoria de 100 chilenos, y observa que en 
2018 el gasto de bolsillo en salud promedio por persona fue de $20.100 mensuales, con una 
desviación estándar de $5.600. 
a. Suponiendo que los gastos de bolsillo en salud siguen una distribución normal, ¿hay evidencia 
de una reducción de dichos gastos en 2018? Evalúe formalmente, especificando claramente 
las hipótesis nula y alternativa. Considere un nivel de significancia del 5%, y reporte el valor p 
(aproximado) de dicho contraste. 
 
b. El mismo informe indicaba que el nivel de colesterol total promedio en la población adulta 
era igual a 201. El investigador sospecha que en 2020, en el contexto de la pandemia, este 
indicador pudo haber cambiado y por ende recurre a datos provenientes de otra muestra 
aleatoria, esta vez de 550 adultos chilenos. Allí observa un nivel de colesterol total promedio 
igual a 204, con una desviación estándar de 38. Se pide entonces que evalúe la hipótesis nula 
de que no hubo cambios en el nivel de colesterol total promedio a partir de un intervalo de 
confianza bilateral al 95%. 
 
TEMA III (PROPUESTO) 
Considere la siguiente distribución bidimensional: 
 Valores de X 
 -2 0 2 3 
Valores de Y 
3 7/25 2/25 4/25 0 
6 0 1/25 2/25 9/25 
a. Calcule E(X), V(X), E(Y) y V(Y). 
b. ¿Son X e Y independientes? Justifique su respuesta. 
c. Ahora calcule E(Y|X=x) para x = {-2, 0, 2, 3}, y luego verifique el cumplimiento de la ley de 
esperanzas iteradas. ¿Qué ocurre con E(Y|X=x) a medida que aumenta el valor de X? 
d. Calcule V(Y|X=-2) y V(Y|X=2), respectivamente. 
e. Finalmente, calcule el coeficiente de correlación entre X e Y.