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Pontificia Universidad Católica de Chile Instituto de Econoḿıa EAE250A Econometŕıa I Ayudant́ıa 7 Segundo Semestre 2006 Profesora : Alejandra Manquilef Ayudantes : Daniela Marshall Ricardo González Parte A 1. Considere el modelo de regresión: yi = x′iβ + εi, (i = 1, 2, . . . , N) donde x′i es de orden k × 1, E [ε|x] = 0 y E [εε′|x] = σ2I. Por lo tanto, el modelo en forma matricial corresponde a Y = Xβ + ε donde X = x′1... x′N e Y = y1... yN donde X es una matriz de orden N ×K. Suponga usted que cuenta con un conjunto adicional de regresores Z (una matriz N ×K) tal que Z = f (X) para alguna función de transformación f . Cada elemento de Z, zi, corresponde a un vector de orden k×1 tal que zi ≡ (f1 (xi) , f2 (xi) , . . . , fk (xi)) para funciones cualquiera f1, . . . , fk : RK → R. Luego Z = z′1... z′N Basado en lo anterior, usted construye β̃ ≡ (Z ′X)−1 Z ′Y , donde Z ′X es no singular. a) ¿Es β̃ un estimador insesgado de β? b) Compute V(β̃|X). c) ¿Es β̃ mejor que el estimador MCO en términos del error cuadrático medio? d) ¿Qué función de transformación f elegiŕıa para minimizar el error cuadrático medio de β̃? e) Sean los valores ajustados Ỹ = Xβ̃ y ε̃ = Y − Ỹ . En el MCO t́ıpico, sabemos que X y ε̂ son ortogonales. ¿Son Z y ε̃ necesariamente ortogonales? f ) ¿Son Ỹ y ε̃ necesariamente ortogonales? g) Sea E [εε′|x] = W (X) 6= σ2I, para alguna matriz W (X) positiva definida, y Z ′ = X ′W−1 luego ¿seŕıa β̃ mejor que el estimador MCO en términos del error cuadrático medio? h) ¿Qué función de transformación f elegiŕıa para minimizar el error cuadrático medio de β̃, en el caso anterior? 1 2. Considere el modelo, Y = Xβ+ε, donde para cada i, εi ∼ σ (ei − 1), donde ei es una variable exponencial estándar tal que E [ei] = 1 y V [ei] = 1. Asuma que X es independiente de εi. Además suponga que (xi, εi) son i.i.d. a través de los individuos. a) ¿Se cumplen los supuestos de Gauss-Markov para este modelo? b) Considere el estimador de mı́nimos cuadrados de β para este modelo. Compute su valor esperado y su varianza. c) En este modelo, el estimador de mı́nimos cuadrados de β ¿distribuye Normal en muestras finitas condicional a X? d) En este modelo, el estimador de mı́nimos cuadrados de β ¿es EFICIENTE dentro de la clase de estimadores LINEALES INSESGADOS? ¿Por qué? No olvide mencionar si sus respuestas a las letras anteriores afectan este resultado. 2
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