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Apuntes 7

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Apuntes de Econometría
Prof. Ricardo Guzmán
Ponti�cia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
2do Semestre de 2006
Sección 7: Estimación MCO bajo re-
stricciones
Una vez que hemos sometido a prueba una restricción que
estábamos dispuestos a aceptar a priori, es conveniente
volver a estimar el modelo bajo el supuesto de que dicha
restricción se cumple.
La idea es resolver el siguiente problema:
m��ne� e"0e" s.t. Re� � c
Para eso, planteamos el siguiente lagrangeano:
L(e�; �) = e"0e"� 20�(Re� � c)
= y0y � 2y0Xe� + e�0X0Xe� + 2�0Re�
donde �0 = [�1; :::; �Q] es un vector de multiplicadores
de Lagrange.
Las condiciones de primer orden del problema son:
@L(b�R;�)
@ b�R = �2X0y + 2X0Xb�R + 2R0� = 0K�1
@L(b�R;�)
@�
= Rb�R � c = 0Q�1
De la primera condición despejamos b�R como función de
�: b�R = (X0X)�1(X0y �R0�);
y reemplazando ese resultado en la segunda condición
obtenemos el valor óptimo de �:
� = [R(X0X)�1R0]�1(Rb�R � c):
Pregunta: ¿Por qué pudimos invertir [R(X0X)�1R0]�1?
Finalmente, reemplazamos el valor óptimo de � en la
primera condición de primer orden y encontramos b�R:b�R = b� � (X0X)�1R0[R(X0X)�1R0]�1(Rb� � c)
b�R es el llamado estimador de mínimos cuadrados re-
stringidos de �. Es igual al estimador de mínimos cuadra-
dos ordinarios más una �corrección�. Mientras más lejos
esté b�R de satisfacer la restricción, mayor será la cor-
rección que debamos introducir a b�R. Note que si el
estimador de mínimos cuadrados ordinarios cumple la re-
stricción impuesta a los parámetros, b�R es igual a b�.
¿Es b�R insesgado? La respuesta es a�rmativa sí y só-
lo el verdadero valor de � cumple la restricción. Tarea:
demuéstrelo.
Supongamos que, en efecto, R� = c. Algo de álgebra
permite encontrar una expresión para la varianza de b�R
(hacerlo es tarea):
var(b�R jX) = �2(X0X)�1
� �2(X0X)�1R0[R(X0X)�1R0]�1R(X0X)�1:
¿Cómo se compara con b�R con b�?
var(b� jX)� var(b�R jX)
= �2(X0X)�1R0[R(X0X)�1R0]�1R(X0X)�1
Es posible demostrar que este artefacto es de�nido posi-
tivo (¡hágalo!). Es decir, var(b� jX) � var(b�R jX).
Momento, ¿no habíamos probado antes que b� era BLUE...?
¡PLOP!

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