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Apuntes de Econometría Prof. Ricardo Guzmán Ponti�cia Universidad Católica de Chile Instituto de Economía 2do Semestre de 2006 Sección 7: Estimación MCO bajo re- stricciones Una vez que hemos sometido a prueba una restricción que estábamos dispuestos a aceptar a priori, es conveniente volver a estimar el modelo bajo el supuesto de que dicha restricción se cumple. La idea es resolver el siguiente problema: m��ne� e"0e" s.t. Re� � c Para eso, planteamos el siguiente lagrangeano: L(e�; �) = e"0e"� 20�(Re� � c) = y0y � 2y0Xe� + e�0X0Xe� + 2�0Re� donde �0 = [�1; :::; �Q] es un vector de multiplicadores de Lagrange. Las condiciones de primer orden del problema son: @L(b�R;�) @ b�R = �2X0y + 2X0Xb�R + 2R0� = 0K�1 @L(b�R;�) @� = Rb�R � c = 0Q�1 De la primera condición despejamos b�R como función de �: b�R = (X0X)�1(X0y �R0�); y reemplazando ese resultado en la segunda condición obtenemos el valor óptimo de �: � = [R(X0X)�1R0]�1(Rb�R � c): Pregunta: ¿Por qué pudimos invertir [R(X0X)�1R0]�1? Finalmente, reemplazamos el valor óptimo de � en la primera condición de primer orden y encontramos b�R:b�R = b� � (X0X)�1R0[R(X0X)�1R0]�1(Rb� � c) b�R es el llamado estimador de mínimos cuadrados re- stringidos de �. Es igual al estimador de mínimos cuadra- dos ordinarios más una �corrección�. Mientras más lejos esté b�R de satisfacer la restricción, mayor será la cor- rección que debamos introducir a b�R. Note que si el estimador de mínimos cuadrados ordinarios cumple la re- stricción impuesta a los parámetros, b�R es igual a b�. ¿Es b�R insesgado? La respuesta es a�rmativa sí y só- lo el verdadero valor de � cumple la restricción. Tarea: demuéstrelo. Supongamos que, en efecto, R� = c. Algo de álgebra permite encontrar una expresión para la varianza de b�R (hacerlo es tarea): var(b�R jX) = �2(X0X)�1 � �2(X0X)�1R0[R(X0X)�1R0]�1R(X0X)�1: ¿Cómo se compara con b�R con b�? var(b� jX)� var(b�R jX) = �2(X0X)�1R0[R(X0X)�1R0]�1R(X0X)�1 Es posible demostrar que este artefacto es de�nido posi- tivo (¡hágalo!). Es decir, var(b� jX) � var(b�R jX). Momento, ¿no habíamos probado antes que b� era BLUE...? ¡PLOP!
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