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Apuntes de Econometría Prof. Ricardo Guzmán Ponti�cia Universidad Católica de Chile Instituto de Economía 2do Semestre de 2006 Sección 5: Estimación de �2 Antes de entrar en el detalle de la estimación de �2, es conveniente hacer un breve interludio algebraico. Los resultados que encontremos nos serán de utilidad más adelante. La matriz de aniquiladora La matriz aniquiladora se de�ne así: M = IN �X(X0X)�1X0: y cumple las siguientes propiedades: 1. M =M0. 2. MM =M. 3. tr(M) = N �K. 4. M�1 no existe. 5. MX = 0NxK . 6. My =M" = b". 7. y0My = "0M" = b"0b". Tarea: Demostrar las propiedades 1 a 7. Cuando hacemos X = i en M, obtenemos la matriz generadora de desvíos: M0 = IN � 1 N ii0: Sus propiedades son: 1. M0 =M00. 2. M0M0 =M0. 3. tr(M) = N � 1. 4. M�10 no existe. 5. M0i = 0Nx1. 6. M0z = z� iz. 7. z0M0z = PN i=1 (zi � z) 2. Tarea: Demostrar las propiedades anteriores. Fin del interludio algebraico. Propiedades de b" 1. X0b" = 0. 2. b" =M". 3. E(b" jX) = E(b") = 0. 4. var(b" jX) = �2M. 5. var(b") = �2 E(M). 6. b"0b" = "0M". 7. E(b"0b" jX) = E(b"0b") = �2 (N �K). Tarea: Demostrar las propiedades anteriores. Estimación de �2 La propiedad 7 de b" nos sugiere un estimador insesgado de b": s2 = b"0b" N �K . Tarea: Demostrar que (N�K)s2=�2 distribuye �2N�K . Al denominador de s2 se le denomina �número de grados de libertad�de s2. Usando s2 podemos construir un esti- mador insesgado de la varianza del estimador MCO dado X: dvar(b� jX) = s2(X0X)�1.
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