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Apuntes 5

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Apuntes de Econometría
Prof. Ricardo Guzmán
Ponti�cia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
2do Semestre de 2006
Sección 5: Estimación de �2
Antes de entrar en el detalle de la estimación de �2,
es conveniente hacer un breve interludio algebraico. Los
resultados que encontremos nos serán de utilidad más
adelante.
La matriz de aniquiladora
La matriz aniquiladora se de�ne así:
M = IN �X(X0X)�1X0:
y cumple las siguientes propiedades:
1. M =M0.
2. MM =M.
3. tr(M) = N �K.
4. M�1 no existe.
5. MX = 0NxK .
6. My =M" = b".
7. y0My = "0M" = b"0b".
Tarea: Demostrar las propiedades 1 a 7.
Cuando hacemos X = i en M, obtenemos la matriz
generadora de desvíos:
M0 = IN �
1
N
ii0:
Sus propiedades son:
1. M0 =M00.
2. M0M0 =M0.
3. tr(M) = N � 1.
4. M�10 no existe.
5. M0i = 0Nx1.
6. M0z = z� iz.
7. z0M0z =
PN
i=1 (zi � z)
2.
Tarea: Demostrar las propiedades anteriores.
Fin del interludio algebraico.
Propiedades de b"
1. X0b" = 0.
2. b" =M".
3. E(b" jX) = E(b") = 0.
4. var(b" jX) = �2M.
5. var(b") = �2 E(M).
6. b"0b" = "0M".
7. E(b"0b" jX) = E(b"0b") = �2 (N �K).
Tarea: Demostrar las propiedades anteriores.
Estimación de �2
La propiedad 7 de b" nos sugiere un estimador insesgado
de b":
s2 =
b"0b"
N �K
.
Tarea: Demostrar que (N�K)s2=�2 distribuye �2N�K .
Al denominador de s2 se le denomina �número de grados
de libertad�de s2. Usando s2 podemos construir un esti-
mador insesgado de la varianza del estimador MCO dado
X:
dvar(b� jX) = s2(X0X)�1.

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