Logo Studenta

Apuntes 11

Vista previa del material en texto

Apuntes de Econometría
Prof. Ricardo Guzmán
Ponti�cia Universidad Católica de Chile
Instituto de Economía
2do Semestre de 2006
Sección 11: Error de especi�cación
Omisión de variables pertinentes
Supongamos que el modelo verdadero es:
y = X� + " =W
 + Z� + ";
donde X =
h
W Z
i
y �0 =
h

0 �0
i
.
El investigador omite Z y estima:
y =W
 + ":
El estimador que obtiene es b
e = (W0W)�1W0y y su
esperanza es:
E(b
e jX) = 
 + (W0W)�1W0Z�:
Por lo tanto, omitir variables relevantes sesga al estimador
MCO de 
, salvo cuando W y Z son ortogonales, es
decir, cuandoW0Z = 0.
Malas noticias: b
e es (casi siempre) sesgado. Pero, ¿qué
tan volátil es?
var(b
e jX) = �2(W0W)�1:
Por otra parte, el estimado MCO de 
 es:
b
 = (W0MZW)�1W0MZy;
y su varianza es:
var(b
 jX) = �2(W0MZW)�1.
Es posible demostrar que var(b
 jX)�var(b
e jX) es una
matriz semide�nida positiva. Tarea: ¡Hacerlo!
Es suma, si el investigador omite variables relevantes, ob-
tiene un estimador sesgado pero de menor varianza que
el estimador sin omisión de variables.
Ahora veamos qué ocurre con el estimador de �2 cuando
el investigador olvida incluir una variable relevante:
s2e =
b"0eb"e
N �KW
=
yMWy
N �KW
donde b"e = MWy es el error estimado bajo error de
especi�cación.
Es posible demostrar que
E(s
2
e jX) = �2 +
�0Z0MWZ�
N �KW
;
es decir, s2e es sesgado al alza, aún cuando Z es ortogonal
aW (hacer la demostración es tarea).
Inclusión de variables irrelevantes
Supongamos ahora que el modelo verdadero es y =
W
+ ", pero el investigador incluye Z en la regresión y
estima y =W
 + Z� + ".
Los estimadores de 
 y � que obtiene son los estimadores
de regresión particionada que vimos en la sección anterior:
b
e = (W0MZW)�1W0MZy;b�e = (Z0MWZ)�1Z0MWy
Un cálculo sencillo permite demostrar que ambos esti-
madores son insesgados (hágalo, es tarea). Es decir,
E(b
e jX) = 
;
E(b�e jX) = 0:
Note que, como b
e y b�e son insesgados, el estimador de
�2 también debe ser insesgado. ¿Por qué? Tarea: de-
muéstrelo formalmente.
Resumiendo: Si se agrega variables irrelevantes a la re-
gresión, los estimadores de 
 y � no son sesgados. Tam-
poco es sesgado el estimador de �2. Buenas noticias.
Ahora bien, ¿signi�ca lo anterior que es buena idea agre-
gar la mayor cantidad posible de variables explicativas a
la regresión? Después de todo, si olvidamos una variable,
habrá sesgo. En cambio, si nos sobra una variable, no
pasará nada.
En realidad, incluir variables irrelevantes en la regresión
tiene costo. Ese costo se re�eja en la varianza de los
estimadores.
Tarea: Demuestre que las varianzas de los estimadores
de 
 y � bajo omisión de variables son menores que las
varianzas de los estimadores cuando no se comete ese
error.
La conclusión �nal de esta sección es que existe un trade-
o¤ entre sesgo y varianza.
Z relevante omitido Z irrelevante incluidob
e Sesgado, a menos Insesgado
que Z0W = 0.
s2e Sesgado Insesgado
var(b
e jX) Menor que var(b
 jX) Mayor que var(b
 jX)

Otros materiales