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Apuntes de Econometría Prof. Ricardo Guzmán Ponti�cia Universidad Católica de Chile Instituto de Economía 1er Semestre de 2006 Sección 9: Bondad de ajuste En esta sección introduciremos R2 y R2 ajustado, dos medidas de �bondad de ajuste�. Antes de siquiera de�nir- los, es preciso enfatizar: R2 y R2 ajustado miden que tan bien se ajusta el modelo estimado a la muestra, y no a la población. Es decir: Ni R2 ni R2 ajustado sirven para decidir si un modelo estimado se aproxima mejor que otro al modelo verdadero. Además, lo más probable es que un modelo con R2 genere peores predicciones que un modelo con R2 más bajo. Comenzamos por introducir algunos términos: suma de cuadrados totales (SCT ), suma de cuadrados explicados (SCE) y suma de cuadrados residuales (SCR): SCT = y0M0y = N b�2y; SCE = by0M0by = N b�2ŷ; SCR = b"0cM0b" = N b�2: Si en el modelo de regresión hay un término constante, entonces se cumple que SCT = SCE + SCR; o bien b�2y = b�2ŷ + b�2: Tarea: ¡demostrarlo! La expresión anterior, nos dice que podemos descomponer la variabilidad total de y, dada por SCT , en dos partes. La primera, SCE, es la variabilidad de y explicada por el modelo. La segunda, SCR, es la variabilidad de los residuos estimados, es decir, la variabilidad no explicada por el modelo. La descomposición nos sugiere un posible indicador del �poder explicativo�de un modelo: R2 = 1� SCR SCT : Si el modelo incluye una constante, R2 nos dice qué por- centaje de la varianza total de y es explicada por el mod- elo. Algunas propiedades de R2 : 1. Si todos los valores de (yi; x0i) están el un mismo hiperplano, R2 será igual a uno. 2. Si la regresión incluye un término constante, en- tonces R2 2 [0; 1] 3. Si la regresión no incluye término constante, en- tonces R2 2 [�1; 1]. 4. R2 nunca decrece cuando se agrega una variable ex- plicativa a la regresión. Tarea: demostrar las propiedades de R2. A veces se usa una medida alternativa de poder explica- tivo, la que corrige por la pérdida de grados de libertad que se produce cuando se adiciona regresores al modelo. R2ajustado = 1� SCR (N �K)SCT :
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