AyudantíaV-Pautarestante

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Ayudantía V - Pauta restante
Econometría I
Profesor: Tomás Rau Binder
Ayudantes: Vicente Breguel Gallaher, Magdalena Herrera y Josefina Rodriguez
Segundo Semestre 2017
15 de Septiembre
Dudas sobre esta ayudantía a vabreguel@uc.cl.
Ejercicio 3
1. Para estimar el modelo a través de MCO ocupamos la fórmula típica:
�̂
mco
= (X 0X)�1X 0Y =
0
@
1,3214 �0,5 �1
�0,5 1 0
�1 0 1
1
A ·
0
@
10
6
12
1
A =
0
@
�1,7857
1
2
1
A
Por tanto, el modelo estimado queda del siguiente modo:
bY
t
= �1,7857 +X2t + 2X3t
2. Para estudiar la significancia del modelo, nos estamos refiriendo al siguiente testeo:
H0 : �i = 0 8i
H0 : �i 6= 0 8i
y, en estos casos, el test F tiene su forma particular:
F
obs
=
ESS/(k � 1)
RSS/(n� k)
y si calculamos a través de la forma:
ESS = b�0 ·X 0Y � nY 2
TSS = Y 0Y � nY 2
TSS = ESS +RSS 99K RSS = TSS � ESS
tendremos lo siguiente:
a) ESS = b�0 ·X 0Y � nY 2 = 12,1429� 14 ⇤ 0, 71432 ' 5
b) TSS = Y 0Y � nY 2 = 14� 14 ⇤ 0,71432 ' 6,86
c) RSS = TSS � ESS = 1,86,
Por lo tanto,
F
obs
=
5/2
1,86/11
= 14,8074 > 3,98 = F (1�↵)(2,1)
se rechaza la nula con una confianza del 95 % y, entonces, el modelo es significativo.
Nota: El cálculo de Y se hace considerando el dato X 0Y , ya que al ser una la primera columna de X una
de 10s, el primer elemento del vector resultante de la multiplicación me entrega la
P
Y . Y como el primer
elemento de la matriz X 0X me indica el tamaño de la muestra n = 14: Y =
P
Y/n 99K 1014 = 0, 7143
1
3. Para contrastar la hipótesis H0 : �2 � �3 = �1, ocupamos el clásico test F:
F
obs
=
(Rb� � r)0
⇥
R(X 0X)�1R0
⇤�1
(Rb� � r)
qb�2 > F
{1�↵}
(q,n�k)
con R =
�
0 1 �1
�
, r = �1 y q = 1. Por lo tanto, desarrollando:
Rb� � r =
�
0 1 �1
�
·
0
@
�1,7857
1
2
1
A+ 1 = 0
lo que conduce a que
F
obs
= 0⇢>4,84 = F
{0,95}
(1,11)
Por lo tanto, no se rechaza la hipótesis nula.
4. El intervalo de confianza de predicción es el siguiente:
x00
b� ± t1�
↵
2
(n�k)b�
q
x00(x
0x)�1x0
y, con los datos entregados, tenemos lo siguiente:
a) x00b� = ( 1 5 7 ) ·
0
@
�1,7857
1
2
1
A = 17,2143
b) b�2 = RSS
n�k =
1,86
11 = 0,1688
c) x00(x0x)�1x0 = ( 1 5 7 ) ·
0
@
1,3214 �0,5 �1
�0,5 1 0
�1 0 1
1
A ·
0
@
1
5
7
1
A = 56,3214
Y, por lo tanto, el intervalo de confianza al 95 % es el siguiente:
⇥
10,3671  E(Y )  26,0615
⇤
1. Solución Comentes
1. R. Falso. Cuando hacemos un test de hipótesis de la forma H0 : Rb� = r para ver si rechazamos o no la
hipótesis nula, debemos comparar el valor calculado del estadístico con el valor de tabla de una distribución
F con q grados de libertad en el numerador y n� k grados de libertad en el denominador. Si bien el valor de
tabla de la distribución F no cambia con r (los valores que testeamos bajo la hipótesis nula) si cambia con el
número de hipótesis que estemos testeando (q).
2. R. Falso. El supuesto de normalidad lo necesitamos para conocer la distribución de los estimadores y de
esta forma poder derivar los test t y F. Por otra parte, la formula b� = (X 0X)�1X 0Y resulta simplemente de
plantear el problema de optimización de mínimos cuadrados, lo que no depende en lo absoluto de la normalidad
de los errores.
3. R. Falso, la omisión de una variable relevante siempre produce sesgo en los parámetros a menos que la
correlación entre la variable omitida y las explicativas incluidas sea cero, sin ebargo, la dirección del sesgo no
es siempre negativa, de hecho el signo del sesgo depende de dos cosas: la correlación entre la omitida y las
explicativas incluidas y el valor del parámetro que tendría asociado la variable omitida (valor poblacional).
Para un modelo sencillo, con una variable explicativa (x1) y una variable omitida (x2) se mostrará en clases que
el sesgo es: cov(x1,x2)
v(x1)
�2. Por otra parte, siempre al omitid una variable relevante, la varianza de los parámetros
estimada a partir del modelo incorrecto es menor que la del modelo que incluye la variable omitida.