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Ayudant́ıa 4 Econometŕıa I Profesor: Tomás Rau Dudas de esta ayudant́ıa a Josefina Rodŕıguez (jmrodriguez@uc.cl) 1 Septiembre 2017 Ejercicio 1 Considere el siguiente modelo de regresión lineal log(pricei) = β1 + β2log(noxi) + β3log(disti) + β4roomsi + β5stratioi + ui y se dispone de una muestra de 506 comunidades en el área de Boston, USA. Las variables son: pricei que corresponde a la mediana del precio de las casas en una comunidad i, noxi la cantidad de óxido de nitrógeno en el aire de dicha comunidad, disti la distancia media de la comunidad a los 5 centros de empleos más cercanos (en millas); roomsi representa el número promedio de piezas en las casas de la comunidad i y stratioi corresponde al ratio estudiante-profesor de los colegios en la comunidad i. Este modelo lineal corresponde a un Modelo Hedónico de precios, donde el precio de un bien se puede explicar por la valoración que hacen los consumidores de sus atributos. En el Cuadero 2 se presentan los resultados de la estimación por MCO de los parámetros del modelo recién descrito. 1 a) Complete el Cuadro 2: TSS, R2, R 2 , estad́ıstico t, P-value e intervalo de confianza para β2. Asuma que la distribución es normal y α = 0, 05. b) Interprete económicamente cada parámetro del modelo recién planteado. Refiérase también al signo y significancia de cada uno de ellos. Ayuda: en Boston los colegios públicos se asignan aleatoriamente de acuerdo a la residen- cia del niño, luego comunidades con mejores colegios enfrentarán una mayor demanda por casas que otras comunidades con malos colegios. c) Testee la siguiente hipótesis nula H0 : β2 = −1 versus la alternativa H1 : β2 > −1 y α = 0, 05. d) Testee ahora la siguiente hipótesis nula H0 : β2 β3 = 5 a dos colas y α = 0, 05. Ayuda: recuerde que V (aX − bY ) = a2V (X) + b2V (Y ) − 2abCov(X,Y ) y use que Cov(β̂2, β̂3) = 0, 0043. Ejercicio 2 Sea el modelo de regresión con k variables Y = Xβ+u donde Y es un vector de n×1, X una matriz de n×k, β un vector de k×1 y u un vector de n×1. Suponga que se cumplen los supuestos vistos en clases y en especial E(u|X) = 0. Sea xi la i-ésima columna de la matriz X y suponga que ∑n m=1 ximxjm = 0 para todo i 6= j, es decir, que las columnas son ortogonales. a) Si la primera columna de X es un vector de unos, ¿qué implica el supuesto de ortogonalidad de las columnas de la matriz X? Ayuda: analice algunos ele- mentos de X ′X. b) Demuestre que el estimador MCO de β!, ..., βk es equivalente a estimar por MCO el modelo de una variable, es decir yi = βxi + ui para cada i = 1, ...k. c)Suponga que Ud. dispone de la información dada en el Cuadro 1 y, adicional- mente, Ud. sabe que ∑ û2i = 2, 5. Usando álgebra matricial obtenga X ′X y X ′Y . Obtenga los estimadores de β1,β2, β3. 2 d) Usando los resultados obtenidos en c), testee la siguiente hipótesis al 5%: Indicación: escriba la hipótesis de la manera Rβ = r y utilice el test F visto en clases cuya fórmula está dada por: 3
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