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Ayudant́ıa Econometŕıa: Regresión Lineal Profesor: Jaime Casassus Ayudante: Jocelyn Tapia 1. Comentes 1. Un estimador �1 siempre debeŕıa ser preferido a un estimador alternativo �2 si el primero tiene una varianza menor que el segundo. El comente es incierto. El error cuadrático medio: ECM = Sesgo2+V arianza. Si los dos estimadores son insesgados el comente es veradero. Sin embargo, si difieren en cuanto a sesgo es mejor comparar sus ECM que solamente sus varianzas, pues menor varianza no implicará necesariamente menor ECM. 2. Un investigador piensa que las variables y y x están relacionadas por medio de la siguiente función: y = b1 + b2x+u, donde u es un error aleatorio y b1 y b2 son parámetros desconocidos a estimar. El investigador cuenta con una muestra de n observaciones pero está confundido pues no sabe cuál método usar para estimar los parámetros de interés. En particular, él ha óıdo hablar del método de Mı́nimos Cuadrados Ordinarios, Máxima Verosimilitud. Su jefe le dice que es equivalente la estimación por ambos métodos. MICO: Busca valores para los parámetros b y b tales que se minimice la suma de los cuadrados de los errores de predicción del modelo. Los errores de predicción son la diferencia entre el valor observado de la variable dependiente y el valor que se predice en el modelo. MV: Busca para los parámetros b y b tales que se maximice la probabilidad que los datos observados en la muestra provengan de una determinada distribución, la cual es asumida por el investigador (distribución normal por ejemplo). Bajo los supuestos clásicos ambos son equivalentes. 2 Usted se ha ganado una consultoŕıa en una fábrica de zapatos para estimar una función de demanda por calzado del tipo Q = b0 + b1P . Al reunirse con el gerente de la firma, éste pone a su disposición los datos para su trabajo, los cuales consisten en información acerca del precio de los pares de zapatos y la cantidad vendida. El gerente le dice que un ayudante en práctica armó la base de datos pero no recuerda si las variables estaban medidas en niveles o en logaritmo natural, pero que él piensa que eso no es muy importante. a Explique al gerente por qué es relevante saber si los datos están medidos en niveles o logaritmos. La importancia de la forma en que están medidas las variables radica en la inter- pretación que se dará a los parámetros del modelo. En particular, si las variables están medidas en niveles, entonces b1 nos dice el impacto esperado de un cambio de una unidad en P sobre el nivel de Q. Por otro lado, si ambas están medidas en logs, b1 nos dice el cambio porcentual esperado sobre Q ante un cambio porcentual de 1 % en P. Si una de las variables está en niveles y la otra en logs, entonces b1 mide el cambio (porcentual o en niveles) que se espera ante un cambio (de 1 unidad o de 1 %) en P. b El d́ıa de hoy el gerente está algo desocupado, aśı que se sienta al lado suyo y lo ve plantear el siguiente modelo de estimación: ln(Q) = b0+b1ln(P )+u. Al ver esto, le dice 1 que él recuerda de sus cursos de micro que el precio afecta la cantidad demandada, pero que no sabe qué es la variable u que está en la ecuación. Explique al gerente por qué usted incluye esta variable y qué supuesto es necesario hacer acerca de su interacción con las demás variables en el modelo. La variable u representa factores no observables o no medibles que afectan la can- tidad demandada pero que no se incluyen en el modelo (por ejemplo, gustos del consumidor).El supuesto clave respecto a esta variable es que el err or muestral es independiente de las variables explicativas. Si este supuesto no se cumple hay problemas con la interpretación y propiedades de b1. c Encuentre los estimadores de mı́nimos cuadrados para los parámetros b0 y b1. Ex- plique el resultado obtenido (Ayuda: un gráfico de dispersión con las variables de la muestra puede ser de gran utilidad). Los estimadores no se pueden obtener. Si vemos la fórmula para el estimador MICO del modelo simple, el estimador de b1 está indefinido si la varianza de la variable explicativa es cero. Intuitivamente esto sucede porque b1 trata de capturar el efecto de cambios en la variable explicativa sobre la variable dependiente. Si en la mues- tra tenemos la mala suerte de no observar variabilidad en la var. explicativa nos será imposible formarnos una idea de cómo cambios en ella afectan a la variable de- pendiente. Gráficamente, estaŕıamos tratando de estimar la pendiente de una ĺınea vertical, la cual no está definida. d Encuentre los estimadores de mı́nimos cuadrados para los parámetros b0 y b1. Ex- plique al gerente cómo interpretar los resultados obtenidos. En particular, el gerente está interesado en saber cuál es el impacto esperado sobre los ingresos totales de la empresa si se aumenta el precio de los zapatos en 1 % y en un 10 %. Utilizando las fórmulas para estimadores MICO se encuentra que b0 = 8,88 y b1 = −0,43. Estos resultados muestran que por un aumento de 1 % en el precio se espera que la cantidad demandada caiga en un 43 %. En este caso, el ingreso esperado de la empresa caeŕıa aproximadamente en 67 %. Si el precio aumenta en 10 %, el coeficiente sugiere una cáıda de 430 % en cantidad demandada. Para efectos prácticos, esto puede verse como una cáıda de 100 %, por lo que el ingreso total caeŕıa en un 100 % también. e El gerente sigue aburrido y no se va de su lado. Él nota que usted ha calculado los errores de predicción del modelo y feliz le dice: ¡este modelo es el mejor posible porque en promedio no hay error de predicción!. Explique al gerente porqué no debe entusiasmarse tanto por su hallazgo. Si el modelo incluye un intercepto, como es el de este ejercicio, las condiciones de primer orden del problema de MICO garantizan que la sumatoria de los errores muestrales (y por lo tanto su promedio también) serán cero. Aśı, lo que señala el gerente se cumple por construcción y no es ninguna cualidad especial del modelo. f Notando que el gerente aún no se va y que se ve desilusionado, usted decide contarle acerca del R2, un estad́ıgrafo que śı entrega una mejor idea de la bondad de ajuste del modelo. Explique al gerente en qué consiste el estad́ıgrafo, calcule el R2 de su modelo e interprete el resultado para el gerente. 2 El R2 es un estad́ıgrafo que mide el porcentaje de variabilidad en la var. dependiente que es explicado por el modelo. Mientras más bajo (alto) sea este porcentaje, peor (mejor) será la bondad de ajuste del modelo, pues podemos explicar una parte chica (grande) de la volatilidad en la var. dependiente. El porcentaje restante seŕıa explicado por factores no observables o aleatorios. 3
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