Ayudantía 2 II 2010

Vista previa del material en texto

I1 - Econometŕıa I (EAE-250A)
Instituto de Econoḿıa UC
Instrucciones:
• Responda las preguntas en hojas separadas con su nombre en la es-
quina superior derecha.
• Debe responder TODAS las preguntas.
• Se aceptarán reclamos sólo si las respuestas están con lápiz tinta.
• Los alumnos deben actuar con absoluta ética, honestidad y respons-
abilidad en sus actividades académicas.
1. [6 puntos] Responda brevemente de acuerdo a los conceptos econométricos
discutidos en clases:
(a) Considere el modelo de regresión lineal y suponga que los supuestos
de Gauss-Markov son válidos. Discuta si es posible encontrar
un estimador de los coeficientes β que tenga menor varianza
condicional que el estimador por Mı́nimos Cuadrados Ordinar-
ios (MCO).
(b) Discuta si es posible o no estimar los siguientes modelos por
MCO:
i) yi = θ0 × θ1xθ21,i × θ3x
θ4
1,i × ui
ii) yi = θ0 + θ1x
θ2
1,i + θ3x
θ4
1,i + ui
donde los parámetros θ’s son constantes y las perturbaciones
ui son variables aleatorias i.i.d. En caso de ser afirmativa su
respuesta, describa cómo realizaŕıa la estimación.
(c) Explique dos razones por las cuales es importante el supuesto de
ortogonalidad entre las variables independientes y los errores.
(d) En un modelo simple, yi = β0+β1xi+ui, usted calcula
∑n
i=1 xi =
3,
∑n
i=1 x
2
i = 2,
∑n
i=1 xiyi = 10 y sabe que Var[ui|X] = 9. Cal-
cule el estimador MCO β̂1 y Var[β̂1|X].
2. [6 puntos] Considere el modelo de regresión simple: yi = β0 +
β1xi + ui para i = 1, . . . , n. Suponga que los supuestos de Gauss-
Markov son válidos y que σ2 es la varianza condicional de los errores.
Usted estima el modelo usando MCO y obtiene: yi = β̂0 + β̂1xi + ûi
para i = 1, . . . , n. El objetivo de este problema es demostrar que
σ̂2 ≡
∑n
i=1 ûi
2
n−2 es un estimador insesgado de σ
2, es decir, que
E[σ̂2] = σ2
Para probar lo anterior, deberá demostrar en forma clara los sigu-
ientes pasos intermedios:
(a) Demuestre que E
[∑n
i=1(ui − ū)2|X
]
= (n − 1)σ2 donde ū =∑n
i=1 ui
n .
(b) Demuestre que
∑n
i=1(ui − ū)2 =
∑n
i=1(ûi + (β̂1 − β1)(xi − x̄))2
donde x̄ =
∑n
i=1 xi
n .
(c) Utilice los resultados anteriores para demostrar que E[σ̂2|X] =
σ2
(d) Justifique por qué razón en este caso ocurre que E[σ̂2] = E[σ̂2|X].
Concluya que E[σ̂2] = σ2.
3. [6 puntos] El modelo que genera los datos tiene la siguiente forma:
yi = β0 + β1xi + ui para i = 1, . . . , n. Suponga que los supuestos
de Gauss-Markov son válidos y que σ2 es la varianza condicional de
los errores. Usted equivocadamente cree que el modelo correcto es:
yi = γ0 + ei para i = 1, . . . , n con γ0 constante. El objetivo de este
problema es comparar las propiedades del estimador MCO γ̂0 con las
del estimador MCO β̂0.
(a) Calcule E[γ̂0|X] y E[β̂0|X]. ¿Bajo qué condiciones ambos esti-
madores tienen el mismo valor esperado?
(b) Calcule Var[γ̂0|X] y Var[β̂0|X]. ¿Bajo qué condiciones ambos
estimadores tienen la misma varianza?
(c) ¿Cuál es el R2 de la regresión yi = γ̂0 + êi? Justifique.
4. [6 puntos] El domingo 5 de septiembre de 2010 en La Tercera
apareció un art́ıculo que afirmaba que “estudiar en una universidad
Elite aumentaba el sueldo de un profesional en sus primeros años
de trabajo”. El estudio utilizaba una base de datos que conteńıa
observaciones de distintos individuos en un momento del tiempo y
caracteŕısticas para cada uno como: puntaje en la PSU, universidad
y carrera que estudió, Sueldo en los primeros años de trabajo, etc.
A continuación una gráfica del estudio:
http://cursos.puc.cl/eae250a-1/
http://www.economia.puc.cl/
(a) [1 punto] ¿Qué tipo de base de datos utiliza este estudio:
Cross-Section (Corte Transversal), Serie de Tiempo ó Panel?
Explique.
(b) [2 puntos] Si usted sólo observara los datos en la gráfica an-
terior, es decir, el dato de sueldo de cada egresado y el tipo
de universidad de la que proviene, plantee la ecuación que rep-
resente el modelo lineal que utilizaŕıa para estimar el efecto
de estudiar en una universidad Elite (utilice el salario en logar-
itmo). Estimando esta ecuación, ¿Qué problemas puede tener el
concluir que estudiar en una universidad Elite causa una brecha
de digamos 30% (la diferencia entre las medias de salarios entre
Elite y no Elite) en los salarios de recién egresados?
(c) [3 puntos] Considere el siguiente resultado de una estimación
alternativa:
log(salarioi) = 400.000 + 0, 09Elitei + 0, 02PSUi + ei
Donde Elite indica si estudió en una universidad Elite (=1 si
Elite, =0 si no), y PSU es el puntaje PSU obtenido al momento
de ingresar a la universidad.
i. Interprete los coeficientes que acompañan a PSU y a Elite.
ii. ¿Por qué el coeficiente que acompaña a Elite no es 0,3
(30%)?
iii. ¿Cómo cree usted que se comparan los R2 de los modelos
estimados en (b) y (c)?