Ayudantia 1

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Econometŕıa I EAE250A
Profesor: Jaime Casassus
Ayudant́ıa 1
Vedran Razmilic - vjrazmilic@uc.cl
Nicolás Rodŕıguez - nrodriguez3@uc.cl
1. Intervalos de Confianza
Suponga que Xi para i ∈ {1, ..., n} forman una muestra aleatoria y que son variables independientes
que distribuyen Normal con medio desconocida µ y varianza conocida σ2.
(a) ¿Cuál es el mı́nimo valor de n para que el largo del intervalo de confianza para µ con α = 5%
sea 0.01σ?
(b) Suponga que n = 5. Determine que constantes c1 y c2 tal que:
P [c1 <
n∑
i=1
Xi < c2] = 0.99
(c) ¿Cómo cambiaŕıa la respuesta anterior si no conociera la varianza σ2?
(d) Dados los siguientes valores: el promedio muestral es 15.4, n = 50, y la varianza es 3.5.
¿Se puede decir que la media es menor a 16? ¿Se puede decir que la media es 15.2? Use un test
de hipótesis con un nivel de significancia del 5%.
2. Variables Aleatorias
Suponga que las variables aleatorias Y, X1y X2 solo pueden tomar valores 0 o 1 y que su distribución
de probabilidad conjunta está dada por:
f(Y,X1, X2) =
{
c(Y + 2X1 + 3X2) Y,X1, X2 ∈ {0, 1}
0 en otro caso
(a) Determine el valor de la constante c.
(b) Determine las esperanzas E[Y ], E[Y |X1], E[Y |X1, X2].
(c) Calcule la probabilidad P [Y = 1|X1 = 1, X2 = 1].
3. Independencia y Variables Aleatorias
Dos variables aleatorias Bernoulli X e Y que pueden tomar valores −1 o +1 cada una, tienen la sigu-
iente distribución conjunta:
P (X = −1, Y = −1) = 0.10
P (X = −1, Y = +1) = 0.15
P (X = +1, Y = −1) = 0.30
(a) Determine si las variables X e Y son independientes. Justifique su respuesta.
(b) Calcule E[Y |X = x] y V ar[Y |X = x].
4. Distribuciones y Varianza Mı́nima
Suponga que X1, ..., Xn son variables aleatorias i.i.d. tak que Xi ∼ N(µ, σ2). Sea
Zn =
n∑
i=1
wiXi con
n∑
i=1
wi = 1
(a) Determine la distribución de Zn.
(b) Determine la distribución de (Zn−µ)
2
σ2
∑n
i=1 w
2
i
.
(c) Construya una variable t de Student a partir de Zn.
(d) Demuestre que la varianza de Zn es mı́nima cuando wi =
1
n .
1