Ayudantia4_2016_1

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Pontificia Universidad Católica de Chile - Instituto de Economı́a
Economı́a Matemática
EAE319B-1 Constanza Fosco
Ayudante: Vicente Castro (vjcastro@uc.cl) 22 de Abril de 2016
Ayudant́ıa #4
1. Considere el subconjunto convexo y cerrado de R2 denotado por X = {(x1, x2)|2x21 +
x22 ≤ 9}. La frontera de este conjunto es una elipse centrada en (0,0). Considere el punto
x0 = (8, 2).
i) Demuestre que x0 es un punto exterior de X.
ii) Usando la métrica euclideana para medir distancias, descubra el punto x′ ∈ X que
está más cerca de x0.
iii) Descubra el hiperplano que soporta a X en el punto x′.
2. Un teorema de separación señala que, si X es un subconjunto cerrado, convexo y
no-vaćıo de Rn y x0 6∈ X, entonces existe un vector p ∈ Rn, p 6= 0, ‖p‖E < ∞ y un
escalar α ∈ R tal que
p · x0 < α < p · x ∀x ∈ X
¿Es este resultado válido si X no es cerrado?
3. Sean X1 y X2 dos subconjuntos de Rn no-vaćıos y convexos. El hiperplano con normal
p ∈ Rn, p 6= 0, ‖p‖E < ∞ y un nivel α que soporta a X1 en x∗1 y soporta a X2 en x∗2.
Sean X = X1 +X2. ¿El hiperplano con normal p y nivel 2α soporta a X en x
∗ = x∗1 +x
∗
2?
Demuestre.
4.
a1 =
(
2
1
)
, a2 =
(
0
1
)
, a3 =
(
−1
2
)
, y b =
(
1
0
)
i) Dibuje el cono convexo con vértice en el origen que es generado por los vectores
a1, a2, a3.
ii) Agregue el vector b a su diagrama.
iii) ¿Cuál de las alternativas de Farkas es verdad?
iv) Si la primera alternativa de Farkas es verdad, entonces resuelva Aλ = b para λ
para al menos dos soluciones y confirme para cada λ ≥ 0. Si la segunda alternativa
es verdadera, entonces descubra al menos dos x ∈ R2 para los cuales Ax ≥ 0 y
b · x < 0.
1
v) Ahora establezca b =
(
1
1
)
y repita todos los incisos anteriores.
5.
a1 =
(
2
1
)
, a2 =
(
−6
−3
)
i) ¿Cuál es el cono convexo que se genera por los vectores a1 y a2?
ii) ¿Existe un vector x ∈ R2 tal que a1 · x ≥ 0 y a2 · x ≥ 0? Si no existe, ¿Por qué? Si
existe, caracterice la completa colección de tales vectores.
En el mismo esṕıritu de los incisos anteriores, pero de manera más general: Sean
a2, a3 ∈ R2 vectores no-ceros y negativamente colineales. a1 ∈ R2 es una vector no-cero
que no es colineal con a2 o a3. Explique porque se cumple, en tal caso, lo siguiente
i) No existe λ2 ≥ 0 y λ3 ≥ 0, ambos no ceros, tales que a1 = λ2a2 + λ3a3.
2