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Ayudantia1_2016_1

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Pontificia Universidad Católica de Chile - Instituto de Economı́a
Economı́a Matemática
EAE319B-1 Constanza Fosco
Ayudante: Vicente Castro 11 de Marzo de 2016
Nota: Adicional a los ejercicios incluidos en esta ayudant́ıa, se les recomienda realizar
todos los ejercicios propuestos en los caṕıtulos 1 y 2 de Bloch (2011).
Ayudant́ıa #1
1. Escriba cada uno de los siguientes argumentos en śımbolos (no olvide definir todo lo
que sea necesario definir) y encuentre una derivación (método de dos columnas).
a) Todos los atletas o bien son fuertes dado que levantan pesas o son ágiles. Algunos
son flexibles provisto que son ágiles. Sin embargo, todos los atletas levantan pesas
y no son flexibles. Por lo tanto, existen atletas fuertes.
b) Todo alumno que estudia mucho para la segunda prueba consigue buenos resulta-
dos. Si consigue buenos resultados o tiene una buena nota en la prueba I, entonces
estudiando mucho para la segunda prueba obtiene un buen promedio final. Algunos
alumnos no salen a carretear y estudian mucho para la segunda prueba. Esos alum-
nos, por lo tanto, consiguen un muy buen promedio final.
2. Considere las derivaciones encontradas para los argumentos propuestos en 1 y escŕıbalas
en español.
3. Considere el siguiente argumento: Todo estudiante inteligente y esforzado ama las
matemáticas. Todos los estudiantes de Ingenieŕıa son inteligentes. Sin embargo, algunos
estudiantes de Ingenieŕıa no aman las matemáticas. Por lo tanto, existen algunos estu-
diantes que no son esforzados.
Escriba el argumento en śımbolos (no olvide definir correctamente los elementos). En-
cuentre, si es posible, una derivación por el método de dos columnas. ¿Es el argumento
válido?
4. Considere el siguiente argumento válido: Todo alumno que cursa Economı́a Matemática,
se esfuerza mucho. Hay un alumno que estudio o no le gusta la Lógica. Pero para cada
alumno, no se da el caso que estudie o se esfuerce mucho. Por lo tanto, existe un alumno
para quien no es cierto que si no cursa Economı́a Matematica, entonces le guste la Lógica.
Escriba el argumento en śımbolos y encuentre una derivación con el método de dos colum-
nas.
5. Demuestre, usando el método de demostración indicado, las siguientes proposiciones:
a) Si x e y son número reales, entonces x2 + y2 ≥ |xy|. Demostración Directa.
1
b) Sea n un número natural. Si n2 + 1 es par, entonces n es impar. Demostración
por contrapositivo. Hint: Busque la definición de número par usando los números
enteros.
c) Si una ĺınea es tangente a un ćırculo, entonces es perpendicular al radio en el punto
de tangencia. Demostración por contradicción.
d) Para todo x > 0, x ∈ <, x + 4
x
≥ 4. Demostración por contradicción.
c) Si 5n es par, entonces 3n es par. Demostración directa, por contrapositivo y por
contradicción.
6. Demuestre las siguientes proposiciones sobre conjuntos:
a) Sea A = {n : n = 4k + 1 para algún k ∈ Z} y B = {n : n = 4k − 3 para algún k ∈ Z}.
Demuestre que A=B.
b) Para todo conjunto A y B, A−B = A ∩Bc.
c) Considere dos conjuntos A y B. Demuestre las llamadas leyes de morgan
7. Demuestre la siguiente proposición: Si S1 y S2 son dos subconjuntos convexos de un
espacio linear X, entonces su suma S1 + S2 es también un conjunto convexo.
8. Considere la relación de inclusión ⊆ entre dos conjuntos cualesquiera. ¿Es esta relación
asimétrica? ¿Es esta relación antisimétrica? Justifique cada respuesta (demuestre).
Aplicaciones
1. Considere la siguiente teoŕıa para la demanda de dinero.
El monto total de dinero que las familias de la economı́a desean tener es proporcional a
su nivel de ingreso nominal. El ingreso nominal es simplemente el producto del ingreso
real (medido a precios constantes) y el nivel de precios. Suponga ahora que el ingreso
real está dado (fijo) y el nivel de precios es variable. La oferta de dinero está determinada
exógenamente por el gobierno. Finalmente suponga que, en equilibrio, la demanda de
dinero se iguala a la oferta de dinero.
Considere la siguiente proposición (en el contexto de la teoŕıa enunciada) y demuéstrela
usando los métodos: i) directo, ii) contrapositivo y iii) por contradicción.
Proposición: Si la oferta de dinero disminuye (en un monto discreto), entonces el nivel
de precios disminuye.
2. Considere el siguiente modelo sencillo de un mercado. La función de demanda del
mercado es D = a− bp y la función de oferta es S = c + dp, donde a, b, c, d > 0 y p > 0
es el precio. Si existe, el precio de equilibrio de este mercado p∗ es un precio no-negativo
que iguala la oferta y la demanda.
Demuestre en forma directa, por contrapositivo y por contradicción la siguiente proposición:
La condición suficiente para que exista el precio de equilibrio es que a > c.
3. El efecto total del cambio en el precio de un bien sobre la cantidad demandada es
la suma de dos efectos diferentes: el efecto sustitución (la cantidad demandada del bien
2
crecerá cuando el precio disminuye porque ahora es relativamente más barato que sus
sustitutos) y el efecto ingreso (cuando el precio del bien disminuye, el ingreso real del
consumidor aumenta, llevando a un aumento de la demanda del bien si el bien es normal
y a una disminución de la demanda si el bien es inferior).
Demuestre la siguiente proposición usando los métodos: i) directo, ii) contrapositivo y
iii) por contradicción.
Proposición: Una condición suficiente para que la cantidad demandada del bien aumente
cuando su precio disminuye es que sea un bien inferior.
3

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