Descarga la aplicación para disfrutar aún más
Vista previa del material en texto
Pontificia Universidad Católica de Chile - Instituto de Economı́a Economı́a Matemática EAE319B-1 Constanza Fosco Ayudante: Vicente Castro (vjcastro@uc.cl) 8 de Abril de 2016 Ayudant́ıa #3 Teorema 1. Sea (X,d) un espacio métrico compacto y sea f : X → X una función pseudo-contractiva. Entonces, f tiene un único punto fijo. Teorema 2. Sea X = [a, b] un espacio métrico con la métrica usual y f : X → X una función diferenciable. Entonces, f es una contracción sobre X si y solo si existe un número real β < 1 tal que |f ′(x)| ≤ β para todo x ∈ (a, b). 1. Funciones Lipschitzianas. a) Sea X = [1,∞) un espacio métrico con métrica usual. Muestre que la función f : X → X, f(x) = x+ 1 x no es una contracción, pero śı una contracción. b) Sea X = [1,∞) un espacio métrico con la métrica usual y f : X → X una función definida por f(x) = 10 11 (x + 1 x ). Muestre que f es una contracción y determine su valor de la constante de Lipschitz. ¿Es esta función una pseudo-contracción? c) Sea X = [0, 1] un espacio métrico con métrica usual y f : X → X una función definida por f(x) = 1 7 (x3 + x2 + 1). Muestre que f es una contracción y determine el valor de la constante de Lipschitz. ¿Es esta función una pseudo-contracción? 2. Para cada caso, ¿para qué valores de los parámetros (a,b,c) se satisfacen las condiciones del teorema de Punto Fijo de Banach? ¿Cuál es o cuáles son el/los punto/s fijo/s de la función? Explique y justifique su respuesta. a) Espacio métrico usual (R, d); función f(x) = x a + b, ∀x ∈ R, con a, b ∈ R. b) Espacio métrico euclideano (R2, d); función f(x, y) = ( x a + b, y c + b ) , ∀(x, y) ∈ R2, con a, b, c ∈ R. 3. Investigue y provea una demostración formal para el Teorema de Brouwer para cuando n = 1. (Es decir, para cuando el conjunto S ⊂ R). Plantee correctamente la proposición que demostrará. Sea riguroso. 4. Considere las siguientes correspondencias y determine si (i) se cumple o no cada una de las condiciones del teorema de Kakutani para la existencia de puntos fijos e, independientemente de que se cumplan o no todas las condiciones (pues son condiciones suicientes) (ii) encuentre, si exite/n, el/los punto/s fijo/s. 1 a) X = [−2, 2] con la métrica usual y ϕ : X ⇒ X, definida por ϕ(x) = [−0.5, 0.5] si − 2 ≤< −1 [−1, 1] si x = −1 [−1,−0.5] ∪ [0.5, 1] si − 1 < x < 0 [−1, 1] si 0 ≤ x ≤ 2 b) X = [0, 1] con la métrica usual y ϕ : X ⇒ X, definida por ϕ(x) = 1 2 x si 0 ≤ x < 1 2[ 1 4 , 3 4 ] si x = 1 2 1 2 (x+ 1) si 1 2 < x ≤ 1 c) X = [0, 1] con la métrica usual y ϕ : X ⇒ X, definida por ϕ(x) = { [0, x] si 0 ≤ x < 1 {0} si x = 1 5. Sea la correspondencia ϕ : [0, 1] ⇒ [0, 1], definida por ϕ(x) = {1} si 0 ≤ x < 1 2 {0, 1} si x = 1 2 {0} si 1 2 < x ≤ 1 a) Verifique que ϕ es hemicontinua superior, de valor compacto y que ϕ(x) no vaćıo para todo x ∈ [0, 1]. b) Muestre que ϕ no tiene un punto fijo. ¿Contradice este resultado el Teorema de Kakutani? Justifique. 6. Sea la correspondencia ϕ : [0, 2] ⇒ [0, 2], definida por ϕ(x) = {2} si 0 ≤ x < 1 [0.75, 1.5] si x = 1 [0.5, 1] si 1 < x ≤ 2 a) Realice el gráfico de ϕ. b) Establezca lo más rigurosamente posible si se satisfacen o no cada una de las condi- ciones del Teorema de Kakutani. Debe considerar todas las condiciones. c) Determine si ϕ tiene un punto fijo. Si lo tiene, indique cual es. 7. Sea la correspondencia ϕ : [0, 1] ⇒ [0, 1], definida por ϕ(x) = {[ 1 2 − x, 1 2 + x ] si 0 ≤ x ≤ 1 2 [1− x, x] si 1 2 < x ≤ 1 2 ¿Es ϕ de valor cerrado; de valor compacto; de valor convexo; cerrada; convexa; hemi- continua superior; hemicontinua inferior; continua? Justifique formalmente por qué se cumple o por qué no se cumple cada propiedad. Esta justificación puede ser gráfica, anaĺıtica, etc. La siguiente proposición puede ser de utilidad. Proposición. Sea una correspondencia ϕ : X ⇒ Y . a) Si Y es compacto y la correspondencia ϕ es cerrada, entonces la correspondencia ϕ es hemicontinua superior. b) Si la correspondencia ϕ es hemicontinua superior y de valor cerrado, entonces la correspondencia ϕ es cerrado. 8. Sea una función f : [a, b]→ [a, b], donde a, b ∈ R y a < b. Suponga que f es continua. a) ¿Puede asegurar que f tendrá por lo menos un punto fijo? Justifique rigurosamente. b) ¿Puede asegurar que f tendrá un máximo global? Justifique rigurosamente. c) ¿Puede asegurar que f tendrá un mı́nimo relativo o local? Justifique rigurosamente. *9. Sea (X,d) un espacio métrico completo no vaćıo y T : X → X una función. Se define la sucesión de funciones {T n}n∈N de forma inductiva, siendo T 1 = T y T n+1 = T ◦ T n para todo n ∈ N. Suponga que existe N ∈ N tal que TN es una contracción. Demuestre que T posee un único punto fijo. *10. Sea (X,d) un espacio métrico completo. Sea a ∈ X y r > 0. Sea ϕ : Bd[a; r] → X una función y λ > 0 que satisfacen las dos siguiente condiciones: • Si u, v ∈ X, entonces d(ϕ(u), ϕ(v)) ≤ λd(u, v). • d(ϕ(a), a) ≤ (1− λ)r. Demuestre que ϕ posee al menos un punto fijo ¿Para que valores de λ se puede asegurar que ϕ posee un único punto fijo? 3
Compartir