Ayudantia2_2016_1

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Pontificia Universidad Católica de Chile - Instituto de Economı́a
Economı́a Matemática
EAE319B-1 Constanza Fosco
Ayudante: Vicente Castro (vjcastro@uc.cl) 18 de Marzo de 2016
Nota: Se les recomienda estudiar el caṕıtulo 1 de Carter (2001), para profundizar en
la materia y complementar los ejercicios de esta ayudant́ıa. Cualquier duda, consulta,
sugerencia o reclamo no dude enviarme un correo.
Ayudant́ıa #2
1. Considere el ejercicio 1.16 de Carter (2001), p. 13. Muestre que la solución provista
tiene errores. ¿Cuáles son? Justifique su respuesta. La solución que aparece en la
versión 2002 del manual de soluciones es la siguiente
< ≤ =
Reflexiva No Si Si
Transitiva Si Si Si
Simétrica No Si Si
Asimétrica Si No No
Antisimétrica Si Si Si
Completa Si Si No
2. Mr. Genius afirma que dada una relación R definida sobre un conjunto no vaćıo A,
si R es simétrica y transitiva, entonces R es reflexiva. Esta es la demostración con
la que Mr Genius justifica su aseveración.
”Demostración: Sea x ∈ A. La relación es simétrica, por lo tanto xRy implica
yRx. Por la propiedad transitiva, xRy e yRx implica que xRx. Luego, el hecho de
que todo x ∈ A está relacionado consigo mismo demuestra que R es reflexiva.”
Nosotros sabemos que su aseveración es falsa, sin embargo, su demostración podŕıa
confundirnos. ¿Cuál es el error en la demostración de Mr. Genius?
3. Propuesto. Demuestre que toda relación de equivalencia definida sobre un con-
junto X particiona a X (Carter 2001, p. 15, ej. 1.17).
4. Sea el conjunto X = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ordenado por la relación ”x es divisor de y”.
(a) Defina la relación por extensión.
(b) Justifique por qué es una relación de orden.
(c) Encuentre, si existen, los elementos maximales, mejores, minimales y peores.
Justifique su respuesta.
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5. Ordenamiento débil y preferencias. (Basado en los ejercicios 1.52, 1.53, 1.54 y 1.55
de Carter 2001, p. 32).
Suponga una relación de preferencias % definida sobre el conjunto de canastas de
consumo con las propiedades usuales (es decir, una relación transitiva y completa).
Decimos que x % y cuando x es débilmente preferida a y, siendo x e y dos canastas
cualesquiera del conjunto de canastas de la economı́a X.
(a) Demuestre que es redundante explicitar que la relación de preferencias es re-
flexiva pues es completa.
(b) La relación de preferencias no satisface la propiedad de antisimetŕıa. ¿Cuál es
la intuición de por qué no es un supuesto apropiado?
(c) Demuestre que en el contexto de conjuntos débilmente ordenados (como el de
las canastas con la relación de preferencia usual) es verdad que x es maximal
si y solo si x es el mejor elemento.
(d) ¿Verdadero o Falso?. Un conjunto débilmente ordenado (como el de las canas-
tas con la relación de preferencia usual) tiene como mucho un elemento mejor.
Justifique su respuesta.
ESPACIOS MÉTRICOS
6. Sea X = R2. Muestre que para x = (x1, x2), y = (y1, y2) ∈ X, la función
d (x,y) =
{
|x1 − y1| si x2 = y2
|x1|+ |x2 − y2|+ |y1| si x2 6= y2
es una métrica sobre X.
7. Sea (X, d) un espacio métrico. Muestre que para todo x, y, z, w ∈ X se satisfacen
las siguientes desigualdades
|d (x, z)− d (z, y)| ≤ d (x, y)
|d (x, y)− d (z, w)| ≤ d (x, z) + d (y, w)
8. Conjuntos abiertos y cerrados.
(a) Realice ejercicio 1.85 Carter (2001), pp.53.
(b) Investigue y busque ejemplos para probar por qué la intersección de infinitos
conjuntos abiertos no es necesariamente un conjunto abierto y por qué la unión
de infinitos conjuntos cerrados no es necesariamente un conjunto cerrado.
9. Discuta formalmente si los siguientes conjuntos son abiertos o cerrados; acotados o
no; compactos o no. Grafique en aquellos casos en los que sea posible.
(a) (1, 2) en R.
(b) [1, 2] en R.
(c) (1, 2) en el subespacio métrico [1, 2] con métrica heredada de R.
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(d) X ⊂ R2, X = {(x, y) ∈ R2 : y ≥ 4x− 2}.
(e) [0, 1] ∪ [5, 6] ⊂ R.
(f) {x ∈ R : x ≥ 0} ⊂ R.
(g) X = {(x, y) ∈ R2 : x2 + y2 ≤ 1 y 1− 2x− y ≤ 0} ⊂ R2.
10. Considere un conjunto X ⊂ R y explique la diferencia que hay entre la afirmación
”X es un conjunto acotado” y ”X es un conjunto cerrado”. Suponiendo que X
fuera cerrado y acotado, ¿podŕıa usted afirmar en este caso que X es compacto?
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