Ayudantia7_2016_1

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Pontificia Universidad Católica de Chile - Instituto de Economı́a
Economı́a Matemática
EAE319B-1 Constanza Fosco
Ayudante: Vicente Castro (vjcastro@uc.cl) 10 de Junio de 2016
Ayudant́ıa #7 - Control Óptimo
1.- Acemoglu (2009). Considere el siguiente problema de maximización de horizonte
infinito con descuento
max
∫ ∞
0
exp(−ρt)
[
2y(t)1/2 +
1
2
x(t)2
]
dt
sujeto a
x′(t) = −ρx(t)y(t)
y x(0) = 1.
i) Escriba el Hamiltoniano de valor presente y derive las condiciones necesarias, con
la variable de coestado γ(t).
ii) Muestre que las siguiente es una solución óptima: y(t) = 1, x(t) = exp(−ρt), y
γ(t) = exp(ρt) para todo t.
iii) Demuestre que este problema satisface todos los supuestos del Teorema 7.
iv) Muestre que esta solución óptima viola la condición limt→∞ exp(−ρt)γ(t), pero
satisface limt→∞ exp(−ρt)γ(t)x(t).
2.- Acemoglu (2009). Trayectoria de consumo óptima para un recurso no-renovable.
Considere un individuo que vive infinito y tiene acceso a un recurso no-renovable de
tamaño 1. La utilidad instantánea es u(y), con u : [0, 1] → R función estrictamente
creciente, estrictamente cóncava y continua diferenciable. Su objetivo es
max
∫ ∞
0
exp(−ρt)u(y(t))dt
sujeto a la restricción de la evolución del tamaño del recurso
x′(t) = −y(t)
y x(t) ≥ 0.
Resuelva el problema y demuestre que la solución satisface limt→∞ exp(−ρt)γ(t)x(t).
3.- (Adaptado de Seiestad & Sydsaeter, 1987) El modelo de dos sectores. Considere una
economı́a con dos sectores, donde el sector 1 produce bienes de inversión y el sector 2
1
produce bienes de consumo. Sea xi(t), la producción en el sector i = 1, 2 y u(t) la invesión
asignada al sector 1. Suponga que x′1(t) = au(t)x1(t) y x
′
2 (t) = a (1− u (t))x1 (t), donde
a ∈ R y a > 0. Es decir, el incremento en la producción por unidad de tiempo en
cada sector se supone proporcional a la inversión asignada al sector. Por definición,
u (t) ∈ [0, 1] y si el peŕıodo de planificación comienza en t = 0, x1 (0) y x2 (0) están dados
históricamente. En este contexto, considere el problema de maximizar el consumo total
en el peŕıodo [0, T ].
a) Plantee el problema de control óptimo.
b) Obtenga las trayectorias que satisfacen las condiciones necesarias según el Principio
del Máximo de Pontryagin. Considere los valores posible de a y calcule la función
de valor en función de las condiciones iniciales.
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