Ayudantia5_2016_1

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Pontificia Universidad Católica de Chile - Instituto de Economı́a
Economı́a Matemática
EAE319B-1 Constanza Fosco
Ayudante: Vicente Castro (vjcastro@uc.cl) 22 de Abril de 2016
Ayudant́ıa #5
1. Considere el siguiente problema de optimización restringida:
max
x1,x2
f(x1, x2) = x
2
1 −
33
4
x1 + 21 + x2 sujeto a
g1(x1, x2) = −
√
x1 − x2 ≤ −6
g2(x1, x2) = x1 + 4x2 ≤ 20
g3(x1, x2) = −x1 ≤ 0
g4(x1, x2) = −x2 ≤ 0
i) Dibuje un diagrama que represente el conjunto factible del problema.
ii) La solución óptima del problema es (x∗1, x
∗
2) = (4, 4). ¿Puede escribir las condiciones
necesarias de optimalidad de KKT en este punto? Explique.
iii) Confirme las condiciones necesarias de segundo orden para un máximo local. ¿Se
pueden verificar las condiciones de segundo orden suficientes para una máximo
local?
2. Considere el siguiente problema de optimización restringida:
max
x1,x2
f(x1, x2) = x1 + x2 sujeto a
g1(x1, x2) = (x1 − 4)2 + x2 ≤ 7
g2(x1, x2) = (x1 − 5)3 − 12x2 ≤ −60
i) Dibuje un diagrama que represente al conjunto factible en este problema.
ii) Escriba las condiciones necesarias de optimalidad de KKT junto con las condiciones
de holgura complementaria.
iii) Resuelva el problema.
La solución óptima al problema es el punto (x∗1, x
∗
2) = (4.5, 6.75). En este punto, la re-
stricción g1(x1, x2) es activa mientras que g2(x1, x2) tiene holgura. Otra solución factible,
pero no óptima, es el punto (x1, x2) = (5.412, 5.006), en el cual ambas restricciones son
activas.
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iv) Confirme que las condiciones necesarias de segundo orden se cumplen en el punto
óptimo (x∗1, x
∗
2) = (4.5, 6.75).
v) ¿Se cumple la condición necesaria de segundo orden en el punto (x1, x2) = (5.412, 5.006)?
¿Qué lección rescata de este problema?
3. Sean x el esfuerzo de Ximena e y el esfuerzo de Yago, x, y ∈ <+. Función de resultado
r : <2+ → <; r(x, y) = x + y. Restricción de tiempo x ≤ 2 e y ≤ 2, y función de costo de
esfuerzo c : <+ → <; c(w) = (1− b)w2/2, con w = x, y, b > 0. Suponga que la elección de
x e y se realizan en forma cooperativa, por lo que los niveles de esfuerzo elegidos serán
los que maximicen la función f : <2+ → <; f(x, y) = r(x, y)− c(x)− c(y).
a) Argumente formalmente sobre la existencia de solución para este problema de
optimización y establezca condiciones suficientes sobre el rango de parámetros b para
que esta solución sea única. Especifique, en particular, si cree que las condiciones de
primer orden de KKT serán necesarias y suficientes para encontrar dicha solución.
b) Obtenga el gradiente de la función f , ∇f(x, y).
b.1) Demuestre que este gradiente puede ser escrito como
∇f(x, y) = (g(x), h(y))− (x, y)
donde g y h son funciones de valor real. No olvide definir espećıficamente g y
h.
b.2) Redefina el vector de funciones (g(x), h(y)), como una función F : A → A,
A = [0, 2] × [0, 2] ⊂ R2, donde R2 está dotado de la métrica euclidiana y
F = (g(x), h(y)). Muestre formalmente que F = (g(x), h(y)) tiene al menos
un punto fijo.
Luego, encuentre el rango de b para el cual se podŕıa argumentar que dicho
punto fijo sea único.
c) Utilizando los resultados anteriores, y sin resolver el problema de optimización,
¿Bajo qué condiciones sobre b el único maximizador será interior? Obténgalo y
calcule el rango del valor del resultado del trabajo en este caso por Ximena y Yago.
4. Considere el siguiente problema de optimización.
max
x,y
f (x, y) = a lnx + ln y, f : A ⊆ R2 → R, a ∈ R, a > 0
sujeto a x2 + y2 ≤ 25; 0 ≤ y ≤ 3; y x ≥ 0
a) Realice el estudio previo completo del problema planteado. Demuestre o provea un
argumento formal para cada una de sus afirmaciones. Explique claramente lo que
implica cada una de sus afirmaciones sobre el enfoque para solucionar el problema.
b) Obtenga, si existen, los máximos globales para los distintos rangos relevantes del
parámetro a. Grafique aproximadamente un ejemplo para cada rango.
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