Ayudantia8_2016_1

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Pontificia Universidad Católica de Chile - Instituto de Economı́a
Economı́a Matemática
EAE319B-1 Constanza Fosco
Ayudante: Vicente Castro (vjcastro@uc.cl) 17 de Junio de 2016
Ayudant́ıa #8 - Programación Dinámica
1.- (Sargent, Dynamic Macroeconomic Theory). Aprendiendo a disfrutar del tiempo
libre. La función de utilidad instantánea de un trabajador, u(·), depende de la cantidad
de bienes de mercado que consuma, c1t, y también de la cantidad de bienes del hogar que
consuma, c2t (por ejemplo, entretenimiento, ocio). Para adquirir bienes de mercado, el
trabajador debe asignar un poco de tiempo, l1t, a las actividades que pagan un salario wt,
medido en unidades de bienes de consumo. El trabajador toma el salario como dado. No
hay ahorro ni préstamos. Es de conocimiento común que el salario de mercado evoluciona
de acuerdo a la ley de movimiento wt+1 = h(wt).
La cantidad de bienes del hogar depende del stock de ”habilidad” que el trabajador
tiene al principio del peŕıodo, que llamamos at, y produce bienes en el hogar de acuerdo
a la función f(·). Este stock de ”habilidad” se deprecia a una tasa constante δ y se puede
aumentar al asignar tiempo a actividades que no son del mercado.
a) Plantee el problema de optimización dinámica.
b) Se asume que u(·) y f(·) son acotadas y continuas. Formule el problema como un
problema de optimización dinámica.
2.- (Sargent, Dynamic Macroeconomic Theory). Un agente representativo escoge la se-
cuencia de consumo {ct} que maximice
∞∑
t=0
βt(ln(ct) + γln(ct−1))
sujeto a ct + kt+1 ≤ Akαt , A > 0, α ∈ (0, 1), k0 > 0 y c−1 dado, donde β ∈ (0, 1) y
γ > 0, siendo ct el consumo en la fecha t, kt el stock de capital en el peŕıodo t. La función
de utilidad corriente (ln(ct) + γln(ct−1) está diseñada para representar la persistencia de
hábitos en el consumo.
a) Sea v(k0, c−1) el valor de
∑∞
t=0 β
t(ln(ct) + γln(ct−1)) para un consumidor que em-
pieza en t = 0 con un stock de capital k0 y consumo rezagado c−1 y se comporta
óptimamente. Formule la ecuación funcional de Bellman en v(k, c−1).
b) Demuestre que la solución de la ecuación de Bellman es de la forma v(k0, c−1) =
E + F ln k + G ln c−1 y que la función de poĺıtica óptima es de la forma ln kt+1 =
I + H ln kt donde E, F, G, H e I son constantes. Dé fórmulas expĺıcitas para las
constantes E, F, G, H e I en términos de los parámetros A, β, γ, α.
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3.- Considere el siguiente problema de minimización de costos
min
{vt}
C =
∞∑
t=0
βt(x2t + v
2
t )
s.a.
xt+1 = 2xt + vt
x0 dado
a) Analice los elementos del problema.
b) Tarea: Suponga la siguiente adivinanza educada para C(x) = Ax2, donde A es un
coeficiente a determinar. Verifique si esta adivinanza es correcta.
4.- Considere una firma con tecnoloǵıa de producción dada por z = f(k), donde el capital
f́ısico, k ∈ R+, es el único insumo y z ∈ R+, el producto. La función f es continuamente
diferenciable, estrictamente creciente, estrictamente cóncava, f(0) = 0 y satisface las
condiciones de Inada.
Suponga que el precio del producto p, el precio del capital q, y la tasa de interés r
son constantes en el tiempo y sea β = 1
1+r
. Suponga que el capital debe comprarse con
un peŕıodo de anticipación, que se deprecia a la tasa δ ∈ (0, 1) y que k0 está dado.
a) Plantee el problema de optimización dinámica de la firma.
b) Plantee el problema de optimización como problema de programación dinámica.
c) Argumente lo más formalmente posible que existe una única función de valor y una
única función de poĺıtica.
d) **Encuentre la función de valor y la función de poĺıtica. Interprete desde la
economı́a de los resultado. (Utilice la ecuación de Euler)
5.-** Consumo en el Ciclo de Vida. Resuelve usando sus conocimiento de Programación
Dinámica el siguiente problema de maximización:
max
{ct}∞0
∞∑
t=0
βtU(Ct)
sujeto a At+1 = Rt[At + yt −Ct] y A0 = A dado, donde Ct es el consumo en el peŕıodo t,
yt es el ingreso exógeno, At es la riqueza no laboral empezando el peŕıodo t y Rt es una
secuencia de tasas de interés de un peŕıodo, conocida por todos.
Referencia: King, Ian P., 1987, A Simple Introduction to Dynamic Programming in
Macroeconomic Models, mimeo Queen’s University.
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