Ejercicios_16-05-19

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Economía Matemática – Ejercicios
Clase de 16 de mayo de 2019
Ejercicio 1
Sea f, ĝ1, ĝ2, ..., ĝm : D ⊆ Rn → R funciones cóncavas. Para cada b ∈ Rn considere el
siguiente problema de optimización:
máx
x∈D
f(x)
s.t. ĝi(x) ≥ bi, i ∈ {1, 2, ..., m}
Suponga que para todo b ∈ Rm el problema tiene solución. Denote por v(b) el valor de la
función f evaluado en una solución (v es la función valor para un dado b). Muestre que
v(b) es una función cóncava de b.
Ejercicio 2
Considere el siguiente problema optimización:
máx
x∈R2
− x− y
s.t. x2 + y2 ≥ 0
1. Utilizando los resultados presentados en clase, podemos decir que las condiciones de
Kuhn-Tucker son necesarias para la solución?
2. Utilizando los resultados presentados en clase, podemos decir que las condiciones de
Kuhn-Tucker son suficientes para la solución?
3. Encuentre los pares (x, y) que satisfacen las condiciones de Kuhn-Tucker (si existen).
4. Encuentre el la solución del problema (si hay solución).
1
Ejercicio 3
Sea f, g : R → R. Responda VERDADERO o FALSO para las afirmaciones abajo. Si
verdadero, pruebe. Si falso, encuentre un contra ejemplo.
1. Si f y g son cóncavas, entonces f + g es cóncava.
2. Si f es cóncava y g cuasi-cóncava, entonces f + g es cuasi-cóncava.
Ejercicio 4
Decimos que una relación binaria completa � en Rn es convexa si para todo x, y, z ∈ Rn
y t ∈ [0, 1] tenemos:
x � z y y � z ⇒ (tx + (1− t)y) � z
Suponga que existe una función u : Rn → R tal que
u(x) ≥ u(y)⇔ x � y
Ademas, la función u es suryectiva. Pruebe que la función u es cuasi-cóncava.
2