Ayudantía 5 (enunciado)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Instituto de Economía
Segundo Semestre de 2018
Profesor: Jaime Casassus – Ayudante: Felipe Del Canto
Economía Matemática - EAE319B
Ayudantía 5
5 de Octubre de 2018
1. Resuelva los siguientes sistemas de ecuaciones en diferencias:
a)
#
xn`1 “ 3xn ´ 2yn
yn`1 “ 4xn ´ yn
.
b)
$
’
&
’
%
xn`1 “ 3xn ´ 1yn
yn`1 “ ´xn ` 2yn ´ zn
zn`1 “ ´yn ` 3zn
.
2. Considere la siguiente secuencia de números enteros:
Xn`2 “ Xn`1 `Xn, n ě 0,
con X0 “ A y X1 “ 1. Según el valor de A podemos crear dos secuencias diferentes. Si A “ 0, Xn es
la secuencia de Fibonacci, denotada Fn. Si A “ 2, Xn es la secuencia de Lucas, denotada Ln.
a) Sea Dn :“ Ln ´ Fn. Determine una ecuación en diferencias para Dn y las condiciones iniciales.
b) Muestre que Xn “ C1ϕn`C2p1´ϕqn, donde ϕ “
1`
?
5
2
. Encuentre las constantes C1 y C2 para
Ln y Fn. Hint: Considere zn “
`
xn`1 xn
˘
.
c) Considere Gn “
Xn
Xn´1
, para n ě 2. Demuestre que Gn satisface la ecuación no lineal Gn`2Gn`1 “
1`Gn`1, encuentre G2.
d) Utilice lo anterior para mostrar que
Fn
Fn´1
,
Ln
Ln´1
y
Dn
Dn´1
tienen estado estacionario y obténgalos.
3. Sea St el precio de la gasolina en t y defina xt “ lnpStq. Suponga que la dinámica del precio evoluciona
de la siguiente forma para 0 ă a ď 1, r, θ ą 0, 0 ă κ ă 1 y S0 y S1 conocidos:
xt`1 “ r ` axt ´ δt,
δt`1 “ κθ ` p1´ κqδt,
a) Grafique el diagrama de fase txt, δtu y determine ĺım
tÑ8
St para los 3 siguientes casos: i) a “ 1,
θ ą r; ii) a “ 1, θ ă r; iii) 0 ă a ă 1.
b) Determine S2 en función de los parámetros del modelo y S0, S1.
c) Suponga que a “ 1 y que θ ă r. Demuestre que si S1 ą S0, entonces S2 ą S1.
d) Suponga que a “ 1 y que θ ă r. Demuestre que si S1 ă S0, podría ocurrir que S2 ą S1. Determine
la relación entre los parámetros del modelo, S0 y S1 para que esto ocurra.
e) Suponga que a “ 0,9, r “ 0,05, κ “ 0,5 y θ “ 0,04. Además, sabe que S0 “ 3,5 y S1 “ 3,2.
Determine los precios de la gasolina para t “ 2, t “ 10 y t “ 20.