Ayudantía 1 (enunciado)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemática
Departamento de Matemática
Segundo Semestre de 2018
Profesor: Jaime Casassus – Ayudante: Felipe Del Canto
Economía Matemática - EAE319B
Ayudantía 1
17 de Agosto de 2018
1. Una sucesión txnu8n“1 Ă R se dice de Cauchy si para todo ε ą 0 existe N P N tal que
|xn ´ xm| ă ε, @ n,m ě N
Demuestre que una sucesión de números reales es convergente si y solo si es de Cauchy.
2. Dada una sucesión txnu8n“1, la sucesión txnku
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k“1 se dice una subsucesión de txnu si la sucesión de
subíndices tnku8n“1 es estrictamente creciente. Discuta la veracidad de las siguientes afirmaciones:
a) Si txnu es monótona, toda subsucesión es monótona.
b) Si txnu es acotada, toda subsucesión es acotada.
c) Si txnu es convergente, toda subsucesión es convergente.
3. a) Demuestre que toda sucesión monótona y acotada tiene límite.
b) (Desafío) Demuestre que toda sucesión contiene una subsucesión monótona.
c) Demuestre el Teorema de Bolzano-Weierstrass: Toda sucesión monótona tiene subsucesión con-
vergente.
4. Demuestre que todo conjunto abierto se puede escribir como unión de bolas abiertas.
5. Sea O un conjunto abierto y x P O. Demuestre que si txnunPN converge a x, entonces xn P O para todo
n suficientemente grande.
6. a) Determine si Q es abierto o cerrado. (Recuerde que un conjunto es cerrado si su complemento es
abierto).
b) Determine qué conjuntos son abiertos y cerrados.