Ayudantía 7 (enunciado)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Instituto de Economía
Segundo Semestre de 2018
Profesor: Jaime Casassus – Ayudante: Felipe Del Canto
Economía Matemática - EAE319B
Ayudantía 7
9 de Noviembre de 2018
1. Considere el siguiente problema de optimización
máx
uptq
´
ż T
0
pt2 ` uptq2q dt
s.a. y1ptq “ uptqyptq
yp0q “ 50, ypT q “ 150
Responda las siguientes preguntas:
a) Determine el control óptimo y obtenga el valor de la función objetivo óptima.
b) Determine el control óptimo cuando T es un parámetro libre y obtenga el valor de la función
objetivo óptima en este caso.
2. El valor presente de una empresa cuprífera está dado por la siguiente ecuación:
máx
Qptqě0
ż T
0
e´rt
ˆ
P ptqQptq ´
C
2
Qptq2
˙
dt
donde Qptq es la cantidad producida de mineral y P ptq es el precio del cobre, cuya dinámica está
dada por P 1ptq “ rP ptq. Sea Xptq “
ż t
0
Qpsq ds la cantidad producida hasta tiempo t. La empresa
tiene un contrato para producir una cantidad R durante T años de operación. Responda las siguientes
preguntas:
a) Plantee el problema de optimización usando control óptimo.
b) Discuta cómo debiera cambiar Qptq con respecto al tamaño del contrato R y a la madurez del
contrato T .
c) Determine la tasa óptima de crecimiento de la cantidad producida en cada momento,
Q1ptq
Qptq
.
d) Calcule la cantidad óptima producida inicialmente, Qp0q.
e) Determine la tasa óptima de crecimiento de la producción acumulada,
X 1ptq
Xptq
. Grafique Xptq entre
0 y T .
f ) Calcule el valor presente de la empresa cuprífera usando la política óptima de operación.
3. Usted tiene T “ 30 años para explotar un recurso natural que tiene reservas iniciales Qp0q “ 100. La
política óptima de extracción maximiza el valor presente neto del negocio:
V p0q “ máx
qptq
ż T
0
e´0,05tp20qptq ´ 5qptq2q dt
sujeto a:
Q1ptq “ ´qptq
Qp0q “ 100
QpT q “ 0
a) Suponga que usted está obligado por contrato a operar el recurso por los 30 años y extraer todo
el materia. ¿Cuál es la política óptima de extracción?
b) ¿Cuánto es el valor presente neto V p0q del recurso natural en este caso?
c) Su asesor financiero le dice que con esta política de extracción no le conviene extraer el material
en los últimos periodos, porque los flujos de caja son negativos. ¿En qué momento le gustaría
cerrar el recurso natural si estuviera usando la política de extracción de a)?
d) Suponga ahora que usted tiene la libertad de dejar de producir en forma anticipada. Plantee el
problema de optimización dinámica para este caso.
e) ¿Cómo cambiaría la política de extracción si pudiera operar el recurso libremente?
f ) ¿En qué momento cerraría el recurso natural bajo este escenario?
g) ¿Cuánto es el valor presente neto del recurso natural en este caso?
h) ¿Cuánto material dejaría sin extraer?
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