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Pontificia Universidad Católica de Chile Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas Instituto de Economía Segundo Semestre de 2018 Profesor: Jaime Casassus – Ayudante: Felipe Del Canto Economía Matemática - EAE319B Ayudantía 7 9 de Noviembre de 2018 1. Considere el siguiente problema de optimización máx uptq ´ ż T 0 pt2 ` uptq2q dt s.a. y1ptq “ uptqyptq yp0q “ 50, ypT q “ 150 Responda las siguientes preguntas: a) Determine el control óptimo y obtenga el valor de la función objetivo óptima. b) Determine el control óptimo cuando T es un parámetro libre y obtenga el valor de la función objetivo óptima en este caso. 2. El valor presente de una empresa cuprífera está dado por la siguiente ecuación: máx Qptqě0 ż T 0 e´rt ˆ P ptqQptq ´ C 2 Qptq2 ˙ dt donde Qptq es la cantidad producida de mineral y P ptq es el precio del cobre, cuya dinámica está dada por P 1ptq “ rP ptq. Sea Xptq “ ż t 0 Qpsq ds la cantidad producida hasta tiempo t. La empresa tiene un contrato para producir una cantidad R durante T años de operación. Responda las siguientes preguntas: a) Plantee el problema de optimización usando control óptimo. b) Discuta cómo debiera cambiar Qptq con respecto al tamaño del contrato R y a la madurez del contrato T . c) Determine la tasa óptima de crecimiento de la cantidad producida en cada momento, Q1ptq Qptq . d) Calcule la cantidad óptima producida inicialmente, Qp0q. e) Determine la tasa óptima de crecimiento de la producción acumulada, X 1ptq Xptq . Grafique Xptq entre 0 y T . f ) Calcule el valor presente de la empresa cuprífera usando la política óptima de operación. 3. Usted tiene T “ 30 años para explotar un recurso natural que tiene reservas iniciales Qp0q “ 100. La política óptima de extracción maximiza el valor presente neto del negocio: V p0q “ máx qptq ż T 0 e´0,05tp20qptq ´ 5qptq2q dt sujeto a: Q1ptq “ ´qptq Qp0q “ 100 QpT q “ 0 a) Suponga que usted está obligado por contrato a operar el recurso por los 30 años y extraer todo el materia. ¿Cuál es la política óptima de extracción? b) ¿Cuánto es el valor presente neto V p0q del recurso natural en este caso? c) Su asesor financiero le dice que con esta política de extracción no le conviene extraer el material en los últimos periodos, porque los flujos de caja son negativos. ¿En qué momento le gustaría cerrar el recurso natural si estuviera usando la política de extracción de a)? d) Suponga ahora que usted tiene la libertad de dejar de producir en forma anticipada. Plantee el problema de optimización dinámica para este caso. e) ¿Cómo cambiaría la política de extracción si pudiera operar el recurso libremente? f ) ¿En qué momento cerraría el recurso natural bajo este escenario? g) ¿Cuánto es el valor presente neto del recurso natural en este caso? h) ¿Cuánto material dejaría sin extraer? 2
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