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Ayudantía 8 (enunciado)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Instituto de Economía
Segundo Semestre de 2018
Profesor: Jaime Casassus – Ayudante: Felipe Del Canto
Economía Matemática - EAE319B
Ayudantía 8
23 de Noviembre de 2018
1. Usted maximiza ls siguiente utilidad de consumo para los próximos T “ 5 años:
máx
cptq
ż T
0
cptq1´γ ´ 1
1´ γ
dt`
W pT q1´γ ´ 1
1´ γ
,
sujeto a la dinámica de su riqueza
W 1ptq “ µW ptq ´ cptq,
donde la tasa de reinversión es µ “ 0,05, su aversión al riesgo es γ “ 2 y la riqueza inicial W p0q “ 100.
a) Construya la función de valor del problema de programación dinámica JpW ptq, tq y luego escriba
la ecuación de Bellman considerando la condición terminal para JpW pT q, T q.
b) Obtenga la condición de primer orden para el consumo cptq.
c) Para las siguientes pregunta suponga que la función de valor tiene la siguiente forma funcional
JpW, tq “ Aptq `BptqW 1´γ .
Encuentre A y B.
d) Determine el consumo óptimo cptq y la riqueza terminal óptima W pT q.
e) Suponga que en t “ 0 se le ofrece adquirir una nueva tecnología para que la tasa de reinversión
cambie a µ “ 0,06. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esta nueva tecnología?
2. Considere una economía con 2 bienes de consumo (c y d), 2 sectores (K y Q) y un agente que maximiza
la siguiente función de utilidad
máx
tcptq,dptqu
8
ÿ
t“0
βt
´
α logpcptqq ` p1´ αq logpdptqq
¯
, con 0 ă β ă 1.
Las dinámicas de ambos sectores en la economía están dadas por
Kpt` 1q “ p1` µqKptq ´ cptq,
Qpt` 1q “ p1` θqQptq ´ dptq,
con Kp0q y Qp0q conocidos.
a) Escriba la Ecuación de Bellman en términos de la función de valor actual del problema de opti-
mización.
b) Obtenga una Ecuación de Euler para cada bien de consumo. Interprete.
c) La función de valor actual tiene la siguiente forma: JpK,Qq “ A`B logpKq`D logpQq. Determine
A, B y D.
d) Obtenga los consumos óptimos cptq y dptq en función de Kptq y Qptq.
e) Determine el stock óptimo de cada sector Kptq y Qptq.
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