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Ayudantía 7 (respuestas)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Instituto de Economía
Segundo Semestre de 2018
Profesor: Jaime Casassus – Ayudante: Felipe Del Canto
Economía Matemática - EAE319B
Ayudantía 7
9 de Noviembre de 2018
Ejercicio 3
Usted tiene T “ 30 años para explotar un recurso natural que tiene reservas iniciales Qp0q “ 100. La
política óptima de extracción maximiza el valor presente neto del negocio:
V p0q “ máx
qptq
ż T
0
e´0,05tp20qptq ´ 5qptq2q dt
sujeto a:
Q1ptq “ ´qptq
Qp0q “ 100
QpT q “ 0
a) Suponga que usted está obligado por contrato a operar el recurso por los 30 años y extraer todo el
materia. ¿Cuál es la política óptima de extracción?
Solución. Se debe plantear el problema de control óptimo. En este caso, como tenemos restricciones
terminales
F pQ, qq “ e´0,05tp20q ´ 5q2q
fpQ, qq “ ´q
HpQ,λ, qq “ ´λq ` λ0e
´0,05tp20q ´ 5q2q
Notar que λ0 no es 0 porque en caso contrario el máximo de H sería con qptq “ 0 para todo t y eso
no verifica la condición terminal QpT q “ 0. En consecuencia, λ0 “ 1. Al resolver se encuentran λptq,
Qptq y qptq. A nosotros nos interesa qptq.
b) ¿Cuánto es el valor presente neto V p0q del recurso natural en este caso?
Solución. Basta reemplazar la función qptq encontrada en a) y calcular la integral del comienzo:
ż T
0
e´0,05tp20qptq ´ 5qptq2q dt.
Recordar que T “ 30 en este caso (según lo que dice el enunciado de la parte a).
c) Su asesor financiero le dice que con esta política de extracción no le conviene extraer el material en
los últimos periodos, porque los flujos de caja son negativos. ¿En qué momento le gustaría cerrar el
recurso natural si estuviera usando la política de extracción de a)?
Solución. Si uno mira la solución del problema, notará que a partir de un cierto t, la función dentro
de la integral se hace negativa, que es precisamente la preocupación del asesor financiero. Uno podría
pensar que para operar el recurso, fue necesario comprometerse con una política de extracción (el qptq
óptimo), pero que en un momento del tiempo se nos levantaron las restricciones sobre T y sobre QpT q,
pero no se nos permitió cambiar la política de extracción. Con esta interpretación, esta pregunta se
resuelve encontrando el valor t̃ que verifica
20qptq “ 5qptq2,
es decir, el valor de t a partir del cual empezamos a tener pérdidas usando la política de extracción
inicial. Notar que esto no es equivalente a volver a resolver el problema eliminando las restricciones
terminales y luego tomando T libre, porque este procedimiento puede (y lo hará) cambiar la política
óptima de extracción.
d) Suponga ahora que usted tiene la libertad de dejar de producir en forma anticipada. Plantee el pro-
blema de optimización dinámica para este caso.
Solución. El problema que se plantea ahora es sin restricciones terminales, es decir, no tenemos res-
tricción sobre QpT q. El planteamiento es igual que en a, solo que ahora no se incorpora λ0 y se debe
considerar las condiciones del teorema del máximo cuando no hay restricciones terminales.
e) ¿Cómo cambiaría la política de extracción si pudiera operar el recurso libremente?
Solución. Resolver el problema planteado en d) y comparar con a) (recordar que T está fijo en 30 por
ahora). Lo que nos interesa comparar es qptq.
f) ¿En qué momento cerraría el recurso natural bajo este escenario?
Solución. Misma pregunta que en c), pero ahora usando la política óptima encontrada en e). Llama-
remos al valor encontrado T̃ .
g) ¿Cuánto es el valor presente neto del recurso natural en este caso?
Solución. Calcular la integral
ż T̃
0
e´0,05tp20qptq ´ 5qptq2q dt,
para las funciones encontradas en e), donde T̃ es el valor encontrado en f).
h) ¿Cuánto material dejaría sin extraer?
Solución. Dado que la cantidad de material restante es QpT q, basta calcular esta cantidad para la
función Qptq encontrada en e), reemplazando el valor T̃ encontrado en f)
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