Ayudantía 8 (respuestas)

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Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Ciencias Económicas y Administrativas
Instituto de Economía
Segundo Semestre de 2018
Profesor: Jaime Casassus – Ayudante: Felipe Del Canto
Economía Matemática - EAE319B
Ayudantía 8
23 de Noviembre de 2018
Ejercicio 1
Usted maximiza ls siguiente utilidad de consumo para los próximos T “ 5 años:
máx
cptq
ż T
0
cptq1´γ ´ 1
1´ γ
dt`
W pT q1´γ ´ 1
1´ γ
,
sujeto a la dinámica de su riqueza
W 1ptq “ µW ptq ´ cptq,
donde la tasa de reinversión es µ “ 0,05, su aversión al riesgo es γ “ 2 y la riqueza inicial W p0q “ 100.
a) Construya la función de valor del problema de programación dinámica JpW ptq, tq y luego escriba la
ecuación de Bellman considerando la condición terminal para JpW pT q, T q.
Solución. Por lo visto en clases
JpW ptq, tq “
ż T
t
cptq1´γ ´ 1
1´ γ
dt`
W pT q1´γ ´ 1
1´ γ
,
de manera que la ecuación de Bellman es
0 “ máx
cptq
$
’
’
&
’
’
%
cptq1´γ ´ 1
1´ γ
`
BJ
BW
pµW ptq ´ cptqq `
BJ
Bt
looooooooooooooomooooooooooooooon
dJ
,
/
/
.
/
/
-
,
con la condición terminal JpW pT q, T q “
W pT q1´γ ´ 1
1´ γ
.
b) Obtenga la condición de primer orden para el consumo cptq.
Solución. De la ecuación de Bellman anterior se obtiene la CPO al derivar con respecto a cptq e igualando
a 0:
0 “ cptq´γ ´
BJ
BW ptq
ðñ cptq´γ “
BJ
BW
c) Para las siguientes pregunta suponga que la función de valor tiene la siguiente forma funcional
JpW, tq “ Aptq `BptqW 1´γ .
Encuentre Aptq y Bptq.
Solución. Notar que bajo esta forma para J , la CPO para el consumo queda
cptq´γ “ p1´ γqBptqW´γ ðñ cptq “ rp1´ γqBptqs´1{γW ptq,
por lo que reemplazando en la ecuación de Bellman se obtiene
0 “
rp1´ γqBptqspγ´1q{γW ptq1´γ ´ 1
1´ γ
` p1´ γqµW ptq1´γBptq
´ rp1´ γqBptqspγ´1q{γW ptq1´γ `A1ptq `B1ptqW ptq1´γ ,
lo que reescribimos como
0 “
”
B1ptq ` p1´ γqµBptq `
´
p1´ γq´1{γ ´ p1´ γqpγ´1q{γ
¯
Bptqpγ´1q{γ
ı
W ptq1´γ `
!
A1ptq ´
1
1´ γ
)
De donde se obtienen las dinámicas para Aptq y Bptq
B1ptq ` p1´ γqµBptq `
´
p1´ γq´1{γ ´ p1´ γqpγ´1q{γ
¯
Bptqpγ´1q{γ “ 0
A1ptq ´
1
1´ γ
“ 0
con condiciones terminales BpT q “ ´ApT q “
1
1´ γ
. En este caso, para γ “ 2 las soluciones son
Aptq “ 1` T ´ t, Bptq “ ´
˜
e´
1
2
pT´tqµ `
2p1´ e´
1
2
pT´tqµq
µ
¸2
d) Determine el consumo óptimo cptq y la riqueza terminal óptima W pT q.
Solución. Ya calculados Aptq y Bptq, se tiene una expresión para JpW, tq y el consumo óptimo se obtiene
de la CPO respectiva:
cptq “ rp1´ γqBptq´1{γsW ptq
La riqueza terminal viene de notar que ahora la dinámica de W es
W 1ptq “W ptq
´
µ´ rp1´ γqBptq´1{γs
¯
,
lo que permite obtener W ptq para todo t (usando la condición inicial W p0q “ 100). Para obtener W pT q
basta reemplazar.
e) Suponga que en t “ 0 se le ofrece adquirir una nueva tecnología para que la tasa de reinversión cambie a
µ “ 0,06. ¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por esta nueva tecnología?
Solución. Las ganancias durante todo el periodo, para un µ particular, son JpW p0q, 0q. Esta cantidad
depende de µ, luego el máximo precio a pagar es JpW p0q, 0;µ “ 0,06q ´ JpW p0q, 0;µ “ 0,05q.
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