Ayudantia 1 2015 - 2 (Enunciado)

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Ayundat́ıa Nr.1
EAE319B
Agosto , 2015
Profesor : Jaime Casassus.
TA : Mart́ın Carrasco N.
1.Conceptos claves
1. Un conjunto A es una colección de objetos, llamados elementos.
2. Sea S ⊆ X, el complemento de S, denotado por Sc, es el conjunto
Sc = {x ∈ X : x 6∈ S}
3. Sean S, T ⊆ X, la diferencia S \ T es el conjunto
S \ T = {x ∈ X : x ∈ S, x 6∈ T}
4. La unión de dos conjuntos S y T, es el conjunto de todos los elemetos que pertenecen a
S, a T o a ambos
S ∪ T = {x ∈ X : x ∈ S o x ∈ T o ambos }
5. La intersección de dos conjuntos S y T, es el conjunto de todos los elementos que si-
multáneamente pertenecen a S y a T
S ∩ T = {x ∈ X : x ∈ S y x ∈ T}
6. Un espacio métrico es un conjunto S 6= ∅ dotado de una métrica
7. Una métrica es una función ρ : SxS → < tal que ∀x, y, z ∈ S
(a) ρ(x, y) ≥ 0 y con igualdad si x = y
(b) ρ(x, y) = ρ(y, x)
(c) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
8. Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial S junto a una norma ‖ · ‖ : S → <
tal que ∀x, y ∈ S y α ∈ <:
(a) ‖x‖ ≥ 0 y con igualdad si y solo si x = θ
(b) ‖αx‖ = |α|‖x‖
c) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖
9. Una secuencia {xn}∞n=0 ∈ S converge a x ∈ S (xn → x), si para cada ε > 0 existe un Nε
tal que ρ(xn, x) < ε∀n ≥ Nε.
10. Una secuencia {xn}∞n=0 ∈ S es una secuencia Cauchy (satisface el criterio de Cauchy),
si para cada ε > 0, existe un Nε tal que ρ(xn, xm) < ε,∀n,m ≥ Nε.
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2.Ejercicios
1. Usando el método de tablas de valor muestre que estas proposiciones son válidas
(i) (p→ q) ∨ (p→∼ q)
(ii) (∼ p ∨ q) ∧ (q →∼ r∧ ∼ p) ∧ (p ∨ r)
2. Kyle, Neal, y Grant se encuentran atrapados en un calabozo oscuro y fŕıo (Cómo llegaron
alĺı es otra historia). Después de una búsqueda rápida a los chicos a encontrar tres puertas,
el primero de color rojo, la segunda de color azul, y la tercera verde. Detrás de una de las
puertas es un camino hacia la libertad. Detrás de las otras dos puertas, sin embargo, hay un
dragón que escupe fuego . Abrir una puerta que tiene un dragón es muerte casi segura. En
cada puerta hay una inscripción:
Figure 1: Puertas
Dado el hecho de que al menos uno de los tres proposicones en las tres puertas es verdad y
al menos una de ellas es falsa ¿cuál puerta que llevaŕıa a los cabros a salvarse?
3. Muestre que ρ(x, y) = |x− y| es una métrica.
4. Muestre que ρ(x, y) =
{
0, si x=y
1, si no
es una métrica.
5. Muestre que la combinación convexas entre dos métricas, d1 y d2 definidas en X 6= Ø es un
métrica.
6. Muestre que si (X, ρ) es una métrica en el espacio X, luego
(
X, ρ1+ρ
)
es un espacio métrico.
7. Sea (M,ρ) un espacio métrico en el conjunto M y sea φ(x), x ∈ X una función cóncava
monotónica creciente la que cumple φ(0) = 0. Luego, muestre que φ(ρ) : MxM → <+ es
una métrica.
8. Muestre que los siguientes son espaciones vectoriales normados
• Sea S = <l con ‖x‖ = [
∑L
i=1 x
2
i ]
1
2
• Sea S = <l con ‖x‖ = max |xi|
2
• Sea S = <l con ‖x‖ =
∑L
i=1 |xi|
• El conjunto S como el conjunto de todas las funciones continuas en [a,b] con ‖x‖ =
supa≤t≤b|x(t)|
• El conjunto S como el conjunto de todas las funciones continuas en [a,b] con ‖x‖ =∫ b
a
|x(t)|dt
9. Muestre que si A ⊆ B y B ⊆ A implica que A = B.
10. Sea Ai∀i ∈ [1, n] un conjunto abierto. Muestre que ∩ni=1Ai es un conjunto abierto ¿Qué
ocurre si hacemos ∩∞i=1Ai?
11. Sea Ai∀i ∈ [1, n] un conjunto cerrado. Muestre que
⋃n
i=1Ai es un conjunto cerrado ¿Qué
ocurre si hacemos ∩ni=1Ai?
12. Muestre que un conjunto es acotado si y solo si está contenido en una bola abierta.
13. Sea S y T conjuntos convexos en Rn, muestre que S
⋂
T es un conjunto convexo
14. ¿Pueden las bolas abiertas y cerradas ser iguales? ¿Son las bolas un conjunto distinto al Ø?
15. Muestre que si xn → x y xn → y, entonces x = y. Esto es, si {xn}∞n=0 tiene un ĺımite, este
ĺımite es único.
16. Muestre que si xn = c, entonces {xn}∞n=0 = c.
17. Muestre que si xn → x entonces ∀c ∈ < cxn → cx.
18. Muestre en < que si {xn}∞n=0 es convergente, entonces el conjunto de elementos es un conjunto
acotado (Hint: Si {xn}∞n=0, luego existe un r > 0 tal que ρ(xn, x) < r∀n)
19. Muestre que si {xn}∞n=0 es convergente, entonces satisface el criterio de Cauchy.
20. Muestre que si una secuencia {xn}∞n=0 satisface el criterio de Cauchy, entonces es acotada.
21. Sea {xn}n∈N una sucesión en < definida por xn ≡ (−1)n
[
1 + 1n
]
. Calcule lim inf xn y
lim supxn.
22. Calcule lim inf an y lim sup an ∀a ∈ <
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