Ayudantia 4 2015-2

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Ayudant́ıa 6
EAE319B
Octubre , 2015
Profesor : Jaime Cassasus
Ayudante : Mart́ın Carrasco N
1.Sistemas lineales
1. Encuentre la solución general a
x
0
= 6x� y
y
0
= 5x+ 4y
2. Encuentre la solución general a
x
0
= x+ y
y
0
= 4x+ y
2.IVP
1. Sea el IVP
x
0
= x+ y
y
0
= 4x+ y
x(0) = 1
y(0) = �1
2. Resuelva
y
0
= 2x� y
y(0) = 1
3.Ecuación diferencial de primer orden no lineal
La ecuación diferencial de primer orden no lineal
y
0
= p(t) + q(t)y + r(t)y
2
se conoce como la ecuación de Ricatti y es famosa en la teoŕıa de control. Si una solución y1(t) de
la ecuación de Ricatti es conocida, luego una solución general puede ser encontrada remplazando
y = y1(t) +
1
v(t)
en la ecuación diferencial de primer orden no lineal, encontrando una ecuación de primer order
lineal en v y t. Encuentre la ecuación lineal de primer orden.
1
4.Planteando un problema
1. Sean dos tanques {A,B}. Cada tanque inicialmente tiene 100 litros de agua en que se ha
disuelto 10 libras de sal. El agua fluye hacia el tanque A a razón de 3 galoens por minuto y
la mezcla fluye all tanque B a razón de 5 gal / min. La mezcla en el tanque B fluye hacia el
tanque A a razón de 2 galones por minuto y se bombea del tanque B a razón de 3 galones
por minuto. Cada depósito tiene una capacidad 100 gal en un momento dado. Escriba un
problema de valor inicial que describe la cantidad de sal en cada tanque.
5.Bifurcaciones
1. La población del � ancho� sigue el siguiente patrón
d�
dt
= k
✓
�
n1
� 1)
◆
·
✓
1� �
n2
)
◆
�N
en donde N es el monto removido de ancho � y n1, n2, k 2 <+ tal que n1 < n2
(a) Encuentre las soluciones de equilibrio.
(b) Encuentre las condiciones algebraicas en terminos de los parámetros en donde la so-
brepesca ha generado un punto en donde la extracción va a ser imposible de realizar.
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