Ayudantia 1 2015 - 2 (Pauta)

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Ayundat́ıa Nr.1
EAE319B
Agosto , 2015
1.Conceptos claves
1. Un conjunto A es una colección de objetos, llamados elementos.
2. Sea S ⊆ X, el complemento de S, denotado por Sc, es el conjunto
Sc = {x ∈ X : x 6∈ S}
3. Sean S, T ⊆ X, la diferencia S \ T es el conjunto
S \ T = {x ∈ X : x ∈ S, x 6∈ T}
4. La unión de dos conjuntos S y T, es el conjunto de todos los elemetos que pertenecen a
S, a T o a ambos
S ∪ T = {x ∈ X : x ∈ S o x ∈ T o ambos }
5. La intersección de dos conjuntos S y T, es el conjunto de todos los elementos que si-
multáneamente pertenecen a S y a T
S ∩ T = {x ∈ X : x ∈ S y x ∈ T}
6. Un espacio métrico es un conjunto S 6= ∅ dotado de una métrica
7. Una métrica es una función ρ : SxS → < tal que ∀x, y, z ∈ S
(a) ρ(x, y) ≥ 0 y con igualdad si x = y
(b) ρ(x, y) = ρ(y, x)
(c) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
8. Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial S junto a una norma ‖ · ‖ : S → <
tal que ∀x, y ∈ S y α ∈ <:
(a) ‖x‖ ≥ 0 y con igualdad si y solo si x = θ
(b) ‖αx‖ = |α|‖x‖
c) ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖
9. Una secuencia {xn}∞n=0 ∈ S converge a x ∈ S (xn → x), si para cada ε > 0 existe un Nε
tal que ρ(xn, x) < ε∀n ≥ Nε.
10. Una secuencia {xn}∞n=0 ∈ S es una secuencia Cauchy (satisface el criterio de Cauchy),
si para cada ε > 0, existe un Nε tal que ρ(xn, xm) < ε,∀n,m ≥ Nε.
1
2.Ejercicios
1. Usando tablas se tiene que
Figure 1: Tabla
(i)
Figure 2: tabla
(ii)
2. Sea
• r: la libertad está detrás de la puerta roja
• b: la libertad está detrás de la puerta azul
• g: la libertad está detrás de la puerta verda
Podemos escribir que detrás de una puerta hay un camino a la libertad mientras que las otras
dos llevan al dragón (*)de la siguiente manera
(r∧ ∼ b∧ ∼ g) ∨ (∼ r ∧ b∧ ∼ g) ∨ (∼ r∧ ∼ b ∧ g)
Podemos escribir que al menos uno de las proposiciones anteriores es verdadera (**) aśı
r∨ ∼ b
2
O que al menos uno de los tres es falso(***)
∼ r ∨ b
Y obtenemos la siguiente tabla de verdad
Figure 3: tabla
Luego, la libertad está detrás de la puerta verde.
3. Muestre que ρ(x, y) = |x− y| es una métrica.
Para demostrar que es una métrica, debemos tener presente que na métrica es una función
ρ : SxS → < tal que ∀x, y, z ∈ S
(a) ρ(x, y) ≥ 0 y con igualdad si x = y
(b) ρ(x, y) = ρ(y, x)
(c) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
Luego, debemos demostrar (a),(b) y (c).
Para demostrar (a) dividimos en dos casos. El primero, si x = x entonces ρ(x, x) = |x−x| =
|0| = 0. El segundo, si x 6= y utilizamos la definición de valor absoluto
|x− y| =
{
x− y si x− y > 0
−(x− y) si x− y < 0
Luego, es trivial notar que ρ(x, y) ≥ 0 y con igualdad si x = y.
Para demostrar (b), utilizamos algunas propiedades de valor absoluto (Se define |a| =
√
a2,
por lo que |βa| =
√
β2a2 =
√
β2
√
a2 = |β||a|). Aśı,
ρ(x, y) = |x− y| = |(−1) · (y − x)| = | − 1||y − x| = |y − x| = ρ(y, x)
Para demostrar la desigualdad triangular realizamos lo siguiente(Acá utilizamos la propiedad
de valor absoluta que dice |a+ b| ≤ |a|+ |b|. Esta propiedad viene del hecho que para todo
número real (x e y) se cumple que −|x| ≤ x ≤ |x| y que −|y| ≤ y ≤ |y|. Sumando ambos
términos −|x| − |y| ≤ x + y ≤ |x| + |y| Lo cual cumple la definición de valor absoluto, aśı
|x+ y| ≤ |x|+ |y|)
3
ρ(x, y) = |x− y| = |x− z + z − y| = |(x− z) + (z − y)| ≤ |x− z|+ |z − y|
Aśı,
ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
4. Muestre que ρ(x, y) =
{
0, si x=y
1, si no
es una métrica.
Para demostrar que es una métrica, debemos tener presente que na métrica es una función
ρ : SxS → < tal que ∀x, y, z ∈ S
(a) ρ(x, y) ≥ 0 y con igualdad si x = y
(b) ρ(x, y) = ρ(y, x)
(c) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
Luego, debemos demostrar (a),(b) y (c).
Demostrar (a) y (b) es trivial. Basta notar la definición de métrica discreta para ver que
ρ(x, y) ≥ 0 y que es simétrica.
Para demostrar (c) existen varios caminos. Uno podŕıa tomar distintos casos y evaluar que
se cumpla la desigualdad triangular (esto es, ver el caso en que x = y = z, el caso en que
x = z 6= y, etc.). Sin embargo, demostraremos por contradicción. Aśı, vamos a asumir que
no se cumple la desigualdad triangular y si llegamos a una contradicción estamos ok.
Luego, bajo que no se cumple la desigualdad triangular entonces
ρ(x, y) > ρ(x, z) + ρ(z, y)
Esto se daŕıa solamente en el caso en que x 6= y y en que x = z y z = y. Luego, esto es una
contradicción ya que por un lado es necesario que x 6= y por otro es necesario que x = y.
Luego, se debe cumplir que
ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
5. Muestre que la combinación convexas entre dos métricas, d1 y d2 definidas en
X 6= Ø es un métrica.
Sea d(x, y) = λd1(x, y) + (1− λ)d2(x, y). Luego,
d(x, y) + d(y, z) = (λ(d1(x, y)) + (1− λ)d2(x, y)) + (λ(d1(y, z)) + (1− λ)d2(y, z))
Factorizando por λ
d(x, y) + d(y, z) = λ(d1(x, y) + d1(y, z)) + (1− λ)(d2(x, y) + d2(y, z))
Dado que di es una métrica, entonces cumple la desigualdad triangular, esto es
di(x, y) + di(y, z) ≥ di(x, z)
Usando esto,
d(x, y) + d(y, z) ≥ λ(d1(x, z)) + (1− λ)(d2(x, z))
Luego,
d(x, y) + d(y, z) ≥ d(x, z)
4
(a) ¿ρ(x, y) ≥ 0?
Como di ≥ 0 y λ ∈ [0, 1], luego, λd1 + (1− λ)d2 ≥ 0. Aśı, d ≥ 0.
(b) ¿ρ(x, y) = ρ(y, x)?
Como di(x, y) = di(y, x), entonces
d(x, y) = λd1(x, y) + (1− λ)d2(x, y) = λd1(y, x) + (1− λ)d2y, x) = d(y, x)
(c) ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
6. Muestre que si (X, ρ) es una métrica en el espacio X, luego
(
X, ρ1+ρ
)
es un espacio
métrico. Para demostrar que es una métrica, debemos tener presente que na métrica es
una función ρ : SxS → < tal que ∀x, y, z ∈ S
(a) ρ(x,y)1+ρ(x,y) ≥ 0 y con igualdad si x = y
(b) ρ(x,y)1+ρ(x,y) =
ρ(y,x)
1+ρ(y,x)
(c) ρ(x,y)1+ρ(x,y) ≤
ρ(x,z)
1+ρ(x,z) +
ρ(z,y)
1+ρ(z,y)
Luego, debemos demostrar (a),(b) y (c) usando el hecho de que ρ(x, y) es una métrica.
Para demostrar (a), como ρ(x, y) ≥ 0, entonces el numerador de ρ(x,y)1+ρ(x,y) es ≥ 0, y el denom-
inador es > 0. Aśı, ρ(x,y)1+ρ(x,y) ≥ 0.
Para demostrar (b), usamos el hecho que ρ(x, y) = ρ(y, x) en
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y)
=
ρ(y, x)
1 + ρ(y, x)
Para demostrar (c), usamos
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y)
=
ρ(x, y) + (1− 1)
1 + ρ(x, y)
= 1− 1
1 + ρ(x, y)
Sabemos que ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), entonces
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y)
= 1− 1
1 + ρ(x, y)
≤ 1− 1
1 + ρ(x, z) + ρ(z, y)
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y)
≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
1 + ρ(x, z) + ρ(z, y)
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y)
≤ ρ(x, z)
1 + ρ(x, z) + ρ(z, y)
+
ρ(z, y)
1 + ρ(x, z) + ρ(z, y)
ρ(x, y)
1 + ρ(x, y)
≤ ρ(x, z)
1 + ρ(x, z)
+
ρ(z, y)
1 + ρ(z, y)
Luego, se cumple la desigualdad triangular.
5
7. Sea (M,ρ) un espacio métrico en el conjunto M y sea φ(x), x ∈ X una función
cóncava monotónica creciente la que cumple φ(0) = 0. Luego, muestre que
φ(ρ) : MxM → <+ es una métrica.
Para demostrar que es una métrica, debemos tener presente que na métrica es una función
ρ : SxS → < tal que ∀x, y, z ∈ S
(a) ρ(x,y)1+ρ(x,y) ≥ 0 y con igualdad si x = y
(b) ρ(x,y)1+ρ(x,y) =
ρ(y,x)
1+ρ(y,x)
(c) ρ(x,y)1+ρ(x,y) ≤
ρ(x,z)
1+ρ(x,z) +
ρ(z,y)
1+ρ(z,y)
Luego, debemos demostrar (a),(b) y (c) .
Para demostrar (a), como la función es monotónica creciente φ(ρ(x, y)) ≥ φ(0) = 0. Aśı, se
cumple (a).
Para demostrar (b), usamos el hecho que ρ(x, y) = ρ(y, x) en
φ(ρ(x, y)) = φ(ρ(y, x))
Para demostrar (c), usamos la propiedad de concavidad
φ(λa+ (1− λ)b) ≥ λφ(a) + (1− λ)φ(b)
Sea λ = qp+q , a = 0 y b = p+ q, luego
φ(
q
p+ q
· 0 + (1− q
p+ q
)(p+ q)) ≥ q
p+ q
· φ(0) + (1− q
p+ q
)φ(p+ q)
Como 1− qp+q =
p
p+q , tenemos que
φ(
q
p+ q
· 0 + p
p+ q
· (p+ q)) ≥ q
p+ q
· φ(0) + p
p+ q
· φ(p+ q)
Aśı, (dado que φ(0) = 0)
φ(
q
p+ q
· 0 + p
p+ q
· (p+ q)) = φ(p) ≥ p
p+ q
· φ(p+ q)
Luego, tenemos que φ(p) ≥ pp+q · φ(p+ q).
Supongamos ahora que λ = pp+q , a = 0 y b = p+ q, luego
φ(
p
p+ q
· 0 + (1− p
p+ q
)(p+ q)) ≥ p
p+ q
· φ(0) + (1− p
p+ q
)φ(p+ q)
Como 1− pp+q =
q
p+q , tenemos que
φ(
p
p+ q
· 0 + q
p+ q
· (p+ q)) ≥ p
p+ q
· φ(0) + q
p+ q
· φ(p+ q)
6
Aśı, (dado que φ(0) = 0)
φ(
p
p+ q
· 0 + q
p+ q
· (p+ q)) = φ(q) ≥ q
p+ q
· φ(p+ q)
Luego, tenemos que φ(q) ≥ qp+q · φ(p+ q). Usandoambos resultandos,
φ(q) ≥ q
p+ q
· φ(p+ q)
φ(p) ≥ p
p+ q
· φ(p+ q)
Sumando
φ(q) + φ(p) ≥ q
p+ q
· φ(p+ q) + p
p+ q
· φ(p+ q) = φ(p+ q)
Luego, sea q = d(x, y) y p = d(y, z) tenemos que
φ(d(x, y)) + φ(d(y, z)) ≥ φ(d(x, y) + d(y, z))
Como es estrictamente creciente luego φ(d(x, y) + d(y, z)) ≥ φ(d(x, z)). Aśı,
φ(d(x, y)) + φ(d(y, z)) ≥ φ(d(x, z)
Luego, se cumple la desigualdad triangular.
8. Muestre que los siguientes son espaciones vectoriales normados
• Sea S = <l con ‖x‖ = [
∑L
i=1 x
2
i ]
1
2
– ¿‖x‖ ≥ 0? Dado que es una suma de cuadrados, [
∑L
i=1 x
2
i ]
1
2 es claro notar que
la única manera en que sea cero es que cada componente del vector sea cero. En
cualquier otro caso es positiva.
– ¿‖αx‖ = |α|‖x‖?
Para mayor facilidad, definimos
‖αx‖2 =
L∑
i=1
(αxi)
2 = α2
L∑
i=1
x2i
Tomando ráız, tenemos que
‖αx‖ = |α|[
L∑
i=1
x2i ]
1
2
‖αx‖ = |α|‖x‖
7
– ¿‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖? Para mayor facilidad, definimos
‖x+ y‖2 =
L∑
i=1
(xi + yi)
2
≤
L∑
i=1
x2i + 2
L∑
i=1
xiyi +
L∑
i=1
y2i
Usando Cauchy-Swarz
≤
L∑
i=1
x2i + 2(
L∑
i=1
xi)
1
2 (
L∑
i=1
yi)
1
2 +
L∑
i=1
y2i
= ‖x‖2 + 2‖x‖‖y‖+ ‖y‖2 = (‖x‖+ ‖y‖)2
Luego,
‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖
• Sea S = <l con ‖x‖ = max |xi|
– ¿‖x‖ ≥ 0? Dado que la función valor absoluto es ≥ 0 e igual a 0 si xi = 0, luego se
cumple.
– ¿‖αx‖ = |α|‖x‖?
‖αx‖ = max |αxi|
Usando propiedas de valor absoluto,
‖αx‖ = max |αxi| = |α|max |xi| = |α|‖x‖
– ¿‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖?
‖x+ y‖ = max |xi + yi|leqmax |xi|+ |yi|
‖x+ y‖leqmax |xi|+ max |yi| = ‖x‖+ ‖y‖
• Sea S = <l con ‖x‖ =
∑L
i=1 |xi|
– ¿‖x‖ ≥ 0? Dado que la función valor absoluto es ≥ 0 e igual a 0 si xi = 0, luego se
cumple tambien para la suma de valores absolutos.
– ¿‖αx‖ = |α|‖x‖?
‖αx‖ =
L∑
i=1
|αxi|
Usando propiedas de valor absoluto,
‖αx‖ =
L∑
i=1
|αxi| =
L∑
i=1
|α||xi| = |α|‖x‖
8
– ¿‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖?
‖x+ y‖ =
L∑
i=1
|xi + yi|leq
L∑
i=1
|xi|+ |yi|
‖x+ y‖leq
L∑
i=1
|xi|+
L∑
i=1
|yi| = ‖x‖+ ‖y‖
• El conjunto S como el conjunto de todas las funciones continuas en [a,b] con
‖x‖ = supa≤t≤b|x(t)|
– ¿‖x‖ ≥ 0?
Dado que |x(t)| ≥ 0, entonces supa≤t≤b|x(t)| ≥ 0.
– ¿‖αx‖ = |α|‖x‖?
‖αx‖ = supa≤t≤b|αx(t)|
‖αx‖ = supa≤t≤b|α||x(t)|
‖αx‖ = |α|supa≤t≤b|x(t)| = |α|‖x‖
– ¿‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖?
‖x+ y‖ = supa≤t≤b|x(t) + y(t)| ≤ supa≤t≤b(|x(t)|+ |y(t)|)
‖x+ y‖ ≤ supa≤t≤b|x(t) + supa≤t≤b|y(t)|
‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖
• El conjunto S como el conjunto de todas las funciones continuas en [a,b] con
‖x‖ =
∫ b
a
|x(t)|dt
– ¿‖x‖ ≥ 0?
Dado que |x(t)| ≥ 0, entonces
∫ b
a
|x(t)|dt0.
– ¿‖αx‖ = |α|‖x‖?
‖αx‖ =
∫ b
a
|αx(t)|dt
‖αx‖ =
∫ b
a
|α||x(t)|dt
‖αx‖ = |α|
∫ b
a
|x(t)|dt
– ¿‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖?
‖x+ y‖ =
∫ b
a
|x(t) + y(t)|dt ≤
∫ b
a
(|x(t)|+ |y(t)|)dt
‖x+ y‖ =
∫ b
a
|x(t) + y(t)|dt ≤
∫ b
a
|x(t)|dt+
∫ b
a
|y(t)|dt
‖x+ y‖ ≤ ‖x‖+ ‖y‖
9
9. Muestre que si A ⊆ B y B ⊆ A implica que A = B.
Usando A ⊆ B, tenemos que ∀x ∈ A pertenece a B. Por el otro lado, B ⊆ A nos dice que
∀x ∈ B pertenece a A.
Luego, A y B deben necesariamente tener los mismo elemento. Por contradicción, supong-
amos existe un y ∈ B pero que no pertence a A. Luego, eventualmente podŕıa darse que
A ⊆ B, sin embargo no se cumple que B ⊆ A ya que existe un y ∈ B que no pertenece a A.
Luego, B no es subconjunto de A , por lo que hay una contradicción.
10. Sea Ai∀i ∈ [1, n] un conjunto abierto. Muestre que ∩ni=1Ai es un conjunto abierto
¿Qué ocurre si hacemos ∩∞i=1Ai? Sea A =
⋂n
i=1Ai = A1
⋂
A2 . . .
⋂
An ≡ {x|x ∈ Ai∀i ∈
[1, n]}, en donde Ai∀i ∈ [1, n] es un conjunto abierto.
Es necesario recordar que A es un conjunto abierto si y solo si contiene todos las bolas
abiertas en todos sus puntos, esto es
∀a ∈ A∃ε > 0 : B(ε, a) ⊆ A
¿Ocurre esto con A =
⋂n
i=1Ai = A1
⋂
A2 . . .
⋂
An?
Sea a arbitrario, tal que a ∈ A ⇔ a ∈ Ai∀i ∈ [1, n]. Dado que Ai∀i ∈ [1, n] son conjuntos
abiertos, entonces para cada i ∃ri > 0 : B(ri, a) ⊆ Ai.
Luego, sea r = min{r1, r2, . . . , rn} = min{~r} entonces la bola de centro a y radio r es un
subconjunto de A, esto es B(r, a) ⊆ A (con esto aseguramos que pertenezca a todos los con-
juntos Ai. Ahora, como a es arbitrario (es decir, se puede extender para todos los puntos de
a) el conjunto A contiene todas las bolas abiertas.
¿Ocurre esto con A =
⋂∞
i=1Ai? Uno tendeŕıa a pensar que si, sin embargo basta con notar
un contraejemplo (de muchos) que esto no se cumple.
Sea la secuencia An =
(−1
n ,
1
n
)
, esto es una secuencia infinita de conjuntos abiertos, sabemos
que A =
⋂∞
i=1Ai no es un conjunto abierto.
Esto se puede notar, ya que
A =
∞⋂
i=1
Ai =
∞⋂
i=1
(
−1
n
,
1
n
)
= {0}
el que no es un conjunto abierto, ya que no contiene todas las bolas abiertas.
11. Sea Ai∀i ∈ [1, n] un conjunto cerrado. Muestre que
⋃n
i=1Ai es un conjunto cerrado
Sea A un conjunto cerrado, luego AC es un conjunto abierto. Luego, sea
n⋃
i=1
Ai
el complemento de este
(
n⋃
i=1
Ai)
C
10
Por ley de DMorgan
(
n⋃
i=1
Ai)
C =
n⋂
i=1
ACi
Como AC es un conjunto abierto, luego la intersección es un conjunto abierto. Entonces, el
complemento de (
⋃n
i=1Ai) es abierto, luego (
⋃n
i=1Ai) es cerrado.
12. Muestre que un conjunto es acotado si y solo si está contenido en una bola abierta.
Para demostrar el primer sentido de la implicancia (es acotado entonces está contenido en una
bola abierta) usamos la definición de conjunto acotado. Si un conjunto es acotado, entonces
el supx,y∈Sρ(x, y) = d <∞. Luego, como la máxima distancia está acotada por d, entonces
sabemos que todos los puntos del conjunto están contenidos en
B(x, d+ 1) = {x ∈ S : ρ(x, y) < d+ 1}
Aśı, S ⊂ B(x, d+ 1).
Para el segunda sentido de la implicancia (si está contenido en una bola entonces está acotado)
utilizamos la definición de bola abierta. Se define la bola abierta como
B(a, r) = {x ∈ S : ρ(x, a) < r}
Luego,
ρ(x, y) ≤ ρ(x, a) + ρ(a, y) ≤ r + r = 2r
Luego, toda distancia ρ(x, y) está acotada por 2r.
13. ¿Pueden las bolas abiertas y cerradas ser iguales? ¿Son las bolas un conjunto
distinto al Ø?
Sin duda que si. Para esto, supongamos la métrica discreta del ejercicio (2) con un radio
r < 1. Para ese caso, la bola abierta con centro en a ∈ S es solamente el centro
B(a, r) = {x ∈ S : ρ(x, a) < 1} = {a}
Y la bola cerrado con centro en a es
¯B(a, r) = {x ∈ S : ρ(x, a) < 1} = {a}
¿Pueden las bolas ser un conjunto distinto a ∅?
No. Esta es una propiedad muy relevante de las bolas. Lo anterior se debe ya que para
cualquier métrica (es decir que satisface la no negatividad), el centro siempre está incluida
para cualquier r > 0.
14. Muestre que si xn → x y xn → y, entonces x = y. Esto es, si {xn}∞n=0 tiene un
ĺımite, este ĺımite es único.
Si xn → x para cada εx > 0 existe un Nεx , tal que ρ(xn, x) < εx∀n ≥ Nεx .
Similarmente, si xn → y para cada εy > 0 existe un Nεy tal que ρ(xn, y) < εy∀n ≥ Nεy .
Usando la desigualdad triangular 1
ρ(x, y) ≤ ρ(xn, x) + ρ(xn, y)
1La desigualdad trinagular señala que sean x, y, z ∈ S se cumple que ∀x, y, z ∈ S ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
11
Luego, como ambas sucesiones son convergentes ρ(xn, x) < εx y ρ(xn, y) < εy ∀n > max{Nεx , Nεy}.
Aśı, tomando (arbitrariamente) ε2 = εx = εy
ρ(x, y) ≤ ρ(xn, x) + ρ(xn, y) < εx + εy < ε
Esto implica que , dado que εx, εy son arbitrariamente pequeños, implica que
ρ(x, y) = 0⇔ x = y
Lo anterior viene dado por las propiedades de una métrica 2
15. Muestre que si {xn}∞n=0 es convergente, entonces satisface el criterio de Cauchy.
Si {xn}∞n=0, entonces para cada ε > 0 existe un Nε tal que ρ(xn, x) < ε∀n ≥ Nε.
Usando la desigualdad triangular
ρ(xn, xm) ≤ ρ(xn, x) + ρ(xm, x)
Usando arbitrariamente que rho(xn, x) <
ε
2 entonces ∀n,m ≥ Nε
ρ(xn, xm) ≤ ρ(xn, x) + ρ(xm, x) ≤
ε
2
+
ε
2
< ε
Luego, la secuencia satisface el criterio de Cauchy.
16. Muestre que si una secuencia {xn}∞n=0 satisface el criterio de Cauchy, entonces es
acotada.
Sea la secuencia {xn}∞n=0 ∈ S que satisface el criterio de Cauchy, entonces para cada ε > 0,
existe un Nε tal que ρ(xn, xm) < ε,∀n,m ≥ Nε.
Luego, usando la desigualdad triangular
ρ(xn, 0) ≤ ρ(xm,xn) + ρ(xm, 0)
ρ(xn, 0) < ε+ ρ(xm, 0)∀n ≥ N
Sea
M = 1 + max{ρ(xm, 0),m = 1, 2, ..., N}
Luego, ρ(xm, 0) ≤M∀n, por lo que la secuencia Cauchy es acotada.
2Sea (M,ρ) un espacio métrico. Se define la función métrica ρ : M → < tal que ∀x, y, z ∈M
• ρ(x, y) ≥ 0 y es =0 si x=y
• ρ(x, y) = ρ(y, x)
• ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y)
(ρ(x, y) = 0⇔ x = y, desigualdad triangular)
12