Ayudantia 6 2015-2 Pauta

Vista previa del material en texto

Pauta Ayudantía
Economı́a Matemática
EAE319B
Profesor: Jaime Casassus
1
2
Pregunta 2
a) Escribimos la ecuación de Bellman:
J(K(t), Q(t)) = máx
c(t),d(t)
J(K(t), Q(t)) = máx
c(t),d(t)
{log(c(t)d(t)δ) + βJ(K(t+ 1), Q(t+ 1))}
{log(c(t)d(t)δ) + βJ((1 + µK)K(t)− c(t), (1 + µQ)Q(t)− d(t))}
b) Las condiciones de primer orden son:
1
c(t)
= βJK((1 + µK)K(t)− c(t), (1 + µQ)Q(t)− d(t))}
δ
d(t)
= βJQ((1 + µK)K(t)− c(t), (1 + µQ)Q(t)− d(t))}
Ambas ecuaciones nos dicen que el beneficio maringal de consumir uno de los bienes tiene
que ser igual al costo marginal que se produce al disminuir el stock futuro del bien en ese
sector.
c) Sabiendo que J(K,Q) = log(AKBQD) tenemos que:
1
c(t)
=
βB
δ
d(t)
=
(1 + µK)K(t)− c(t)
βD
(1 + µQ)Q(t)− d(t)
3
c(t) =
d(t) =
(1 + µK)K(t)
1 + βB
δ(1 + µQ)Q(t)
δ + βD
Reemplazando en la ecuación de Bellman tenemos:
log(AKBQD) = log
(
(1 + µK)K
)
+ δ log
(
δ(1 + µQ)Q
δ + βD
)
+ ...
1 + βB
β log (A) + βB log
(
(1 + µK)K −
(1 + µK)K(t)
)
+ ...
βD log
(
(1 + µQ)Q−
δ(1 + µQ)Q(t)
δ + βD
1 + βB)
agrupando terminos tenemos:
cte+ (B − 1− βB) log(K) + (D − δ − βD) log(Q) = 0
Luego,
B =
1
1− β
D =
δ
1− β
d) Usando los valores anteriores tenemos entonces c(t) y d(t):
c(t) = (1− β)(1 + µK)K(t)
d(t) = (1− β)(1 + µQ)Q(t)
Notemos un par de cosas. Mientras más rápido se renueva el stock, mayor porcentaje
puedo consumir. Además, mientras más paciente (beta alto), menos consumo y espero a
que se acumule más stock para el futuro. También notemos que como los sectores operan
por separado y de manera independiente, los consumos óptimos no dependen de δ.
e) La dinámica de los stocks está dada por las siguientes ecuaciones:
K(t+ 1) = β(1 + µK)K(t)
Q(t+ 1) = β(1 + µQ)Q(t)
K(t) = K0(β(1 + µK))
t
Q(t) = Q0(β(1 + µQ))
t
Nuevamente tenemos la misma intuición, dependiendo del valor de β(1 + µI) vamos a
tener que el stock de cada bien se va a cero o a infinito. Eso va a depender de la tasa a la
que se renueva el stock y la tasa de impaciencia de los agentes. Si son muy impacientes,
entonces se agotarán los recursos. Si se renueva muy lento, también.
4
	Página en blanco