Tarea 4 2010 - 2

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EAE 210B-2, Segundo Semestre 2010
Tarea 4: Equilibrio en competencia perfecta
SOLUCIONES
1. Tratamos de resolver el problema de las firmas con el que jugamos en clase. Las firmas tienen
una función de costos dada por C(q) = 12 + 3q2.
(a) ¿Cuál es la oferta en el corto plazo de la firma? Imaǵınese que hay 10 firmas por el
momento. ¿Cuál es la oferta del mercado? Si la demanda en Chile es P = 36 − 4Q,
¿cuánto será el precio en equilibrio? Calcula la ganancia de cada firma en el mercado.
En el largo plazo, ¿esperamos entrada o salida de firmas?
La oferta en el corto plazo está dada por p = CMg para la parte de la curva de CMg
que está arriba de la curva de CVMe. En este caso, CMg = 6q y CVMe = 3q, entonces
CMg > CVMe para todos las valores de q. Entonces, la oferta en el corto plazo es p = 6q
o q = p
6
. Si hay 10 firmas, la oferta del mercado está dada por 10q = 5p
3
. Igualando la
oferta y la demanda, obtenemos: QD = 9−0.25P = 5P3 = QS o 9 =
23P
12
o P = 108
23
. Cada
firma ofrece q = 18
23
. La ganancia de cada firma es 108
23
∗ 18
23
−12−3182
232
= 972
529
−12 = −10.1
y esperamos salida de firmas en el largo plazo.
(b) ¿Cuál será el nivel de producción de cada firma en el largo plazo? ¿Qué precio tendŕıa
que observarse en el mercado para que este nivel de producción sea elegido por cada
firma? Calcula el número de firmas que tendŕıamos en equilibrio en Chile.
En el largo plazo, cada firma produce en un nivel donde no hay ganancias o donde
CMg = CMe, es decir en el caso actual: 12/q + 3q = 6q o q = 2. El precio tiene
que ser igual a p = CMg = 6 ∗ 2 = 12. Con este precio, la quantidad demandada
esQD = 9 − 0.25 ∗ 12 = 6. Dado que cada firma produce 2 unidades, esto significa que
necesitaremos 3 firmas.
(c) Ahora, la demanda en Argentina es P = 20 −Q y la en Brazil es P = 26 − 0.5Q. Deriva
tu respuesta a las preguntas de la parte (b) para cada páıs?
El q y p siguen siendo los mismos pero la cantidad de firmas se ajusta. Con un precio
de 12, la demanda en Argentina es 8 y en Brazil es 28. Entonces tendŕıamos 4 firmas
en Argentina y 14 en Brazil.
(d) Imaǵınese ahora que hay una cáıda de la demanda por el bien en Chile (la nueva demanda
es P = 28 − 4Q). Explica claramente cómo se ajusta el precio, la cantidad producida,
las ganancias y el número de firmas a este cambio (inmediatamente y en el largo plazo)
si la industria exhibe costos constantes y si tiene costos decrecientes.
Una cáıda de la demanda causa inicialmente una cáıda en el precio y una disminución
de la cantidad producida. La cáıda del precio baja las ganancias de las firmas, entonces
hay salida de firmas. Si la industria tiene costos constantes, esto no afecta las funciones
de costos de cada firma. Entonces, en el largo plazo, el precio vuelve a su nivel original
(12) pero con menos firmas. Si la industria tiene costos decrecientes, la salida de firmas
genera una alza en los costos de cada firma entonces el precio en el largo plazo va a subir
a un nivel superior a antes y con menos firmas.
1
2. Supongamos que la demanda por comida rápida es Q = 2500000 − 2000P . Hay 2000 firmas
que ofrecen comida rápida y todas tienen la misma función de costos C(q) = 1000+500q+q2.
(a) Encuentra la oferta del mercado (asumiendo que el número de firmas está fijo). ¿Cuál es
el precio y la cantidad en el equilibrio sin intervención del gobierno? Calcula el excedente
del consumidor y del productor y el bienestar social.
La oferta de cada firma esta dada por la ecuación p = CMg = 500 + 2q o q = p−500
2
. La
oferta del mercado es Q = 2000q = 1000P − 500000. En el equilibrio sin intervención
del gobierno, QD = QS o 1000P − 500000 = 2500000 − 2000P o 3000P = 3000000 o
P = 1000. La cantidad intercambiada es Q = 1000000 − 500000 = 500000. El excedente
del consumidor esta dado por el triángulo entre la curva de demanda y el precio. Este
triángulo tiene una base de Q = 500000 y una altura de 250 porque la curva de demanda
intersecta el eje vertical cuando P = 1250 y el precio de equilibrio es P = 1000. Entonces,
EC = 0.5 ∗ 500000 ∗ 250 = 62500000. Para calcular el excedente del productor, puede
tomar el área del tri´ángulo entre la ĺınea de precio y la curva de oferta o calcular
las ganancias variables de todas las firmas. Usando el primer método, obtenemos un
triangulo de base Q = 500000 y la altura está dada por 500 porque la curva de oferta
intersecta el eje vertical cuando P = 500. El excedente del productor puede ser calculado
como EP = 0.5 ∗ 500 ∗ 500000 = 125000000. El bienestar social es la suma de los dos:
BS = EC + EP = 62500000 + 125000000 = 187500000.
(b) Suponga ahora que el gobierno limita el número de firmas en el mercado a 1000. ¿Cuál
es el precio y la cantidad consumida en este caso? Calcula el excedente del consumidor
y del productor y el bienestar social. ¿Cuánto estaŕıa dispuesta a pagar una firma para
tener el derecho de producir?
La oferta del mercado en este caso es 500P −250000 lo que implica que 500P −250000 =
2500000 − 2000P o P = 1100. La cantidad intercambiada está dada por Q = 500 ∗
1100 − 250000 = 550000 − 250000 = 300000. El excedente del consumidor ahora es
EC = 0.5 ∗ 300000 ∗ 150 = 22500000 y el excedente del productor esEP = 0.5 ∗ 300000 ∗
500 = 75000000 y el bienestar social: EC +EP = 97500000. La ganancia de cada firma
en este caso es 89000, entonces éstas estaŕıan dispuesta a pagar este precio para obtener
el derecho de producir.
(c) El gobierno elige usar un impuesto de t por cada unidad de comida rápida. ¿Importa si
el impuesto es cargado al consumidor o al productor? Calcula el precio y la cantidad
intercambiada en este caso como función de t. Si el gobierno quiere maximizar sus
ingresos, ¿cuál es el mejor t que podŕıan eligir? ¿ Y si quieren maximizar el bienestar
social?
El impacto del impuesto será lo mismo si es cargado al consumidor o productor. En este
caso, tendremos que Pb = Ps + t donde Pb es el precio pagado por el consumidor y Ps
el recibido por el productor. El equilibrio está dado por 1000Pb − 500000 = 2500000 −
2000(Pb − t). o 3000Pb = 3000000 + 2000t o Pb = 1000 + (2/3)t. La cantidad será
Q = 1000 ∗ (1000 + (2/3)t) − 500000 = 500000 − (2/3)1000t. El ingreso del gobierno es
t ∗Q = 500000t− (2/3)1000t2. Es maximizado cuando 500000− 4000t
3
== 0 o 1500000 =
4000t o t = 375. Si el gobierno quiere maximizar el bienestar social, t = 0.
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(d) Un ministro declara que para mejorar la salud de los chilenos, el gobierno no debeŕıa
poner un impuesto a la comida rápida pero dar un subsidio a la comida sana. Explica
gráficamente el impacto de una poĺıtica de este tipo sobre el excedente del consumidor,
del productor, los gastos del gobierno y el bienestar social.
En el siguiente gráfico, A+D representa la gana de los consumidores. B+E representa
la gana de los productores. Los gastos del gobierno son A+B+C+D+E. La perdida de
bienestar social es C.
D
S
Q
P
P0
Q0 Q1
PS
Pb
Subsidio
A
B
C
D
E
3. Imagina que la oferta de profesores chilenos de economı́a está dada por P = 1000 + 5000QS +
1000Q2S y la demanda de universidades chilenas es QD = 1121 − 0.0001P .
(a) Si no pueden entrar profesores extranjeros y los profesores chilenos no buscan trabajo
afuera, encuentra el equilibrio doméstico y calcula el excedente del consumidor, del pro-
ductor y el bienestar total.
Podemos reescribir la función de demanda como P = 11210000 − 10000Q e igualando
las dos curvas, obtenemos 1000 + 5000Q + 1000Q2 = 11210000 − 10000Q o Q2 + 15Q−
11209 = 0 o Q = 98.64 y P = 11210000 − 986378 o P = 10223621. El excedente del
consumidor está dado por el área del triángulo entre la curva de demanda y la liñea
del precio. En este caso: EC = 0.5 ∗ 98.64 ∗ 986379 = 48648212.28. El excedente
del productor está dado por: 98.64 ∗ 10223621 −
∫ 98.64
0
(1000 + 5000Q + 1000Q2) dQ =
1008457975.44− 1000 ∗ 98.64− 2500 ∗ (98.642)− 1/3 ∗ 1000 ∗ (98.643) = 1008457975.44−
98637−24323538.9721−319917454.848 = 664118344.6199. El bienestar social está dadopor EC + EP = 712766556.8999
(b) Suponga que el precio mundial de un profesor de economı́a es de 1 millón de pesos y
que hay libre entrada de economistas. Calcula la cantidad de profesores de economı́a
contratados (domésticos y extranjeros), el excedente del consumidor y del productor y
el bienestar total
La demanda a este precio es Q = 1121 − 100 = 1021. La oferta doméstica es sólo de
Q = 29.21. La diferencia viene de extranjeros trabajando en Chile. El excedente del
consumidor es EC = 10210000 ∗ 1021 ∗ 0.5 = 5212205000 y el excedente del productor
es EP = 1000000 ∗ 29.21 −
∫ 29.21
0
(1000 + 5000Q + 1000Q2) dQ = 29205678 − 29205 −
2133060 − 8307559 = 18735854. El bienestar total es: EC + EP = 5230940854
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(c) Imagina ahora que el precio es como en (c) y que el gobierno da solamente x visas a
algunos extranjeros (incluyendo a su profesora muy mala de microeconomı́a). Calcula la
cantidad de profesores de economı́a contratados (domésticos y extranjeros), el excedente
del consumidor y del productor y el bienestar total como función de x.
Ahora, tenemos que QD = QS + x. La ecuación determinando el equilibrio es entonces:
1000+5000QS +10000Q
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S = 11210000−10000(QS +x) o 15QS +Q2S +10x−11, 209 = 0.
Con eso, encontramos que QS =
−15+
√
45061−40x
2
. Entonces, cuando sube x, QS baja y
QD sube. El excedente del consumidor sube en x pero la del productor baja. El bienestar
social sube en x hasta que x es igual a la quantidad de economistas extranjeros en la
parte (b).
(d) ¿Cuál de las opciones (a), (b) y (c) da el mayor excedente del consumidor? ¿Significa
esto que esa opción es la más eficiente?
La opción (b) es la que da el mayor excedente del consumidor. En general, esto no
implica que sea la opción más eficiente pero en este caso es.
4. Los papás de Ana y Belén dan a sus hijas chocolates (C) y frutas (F). Ana recibe 9 unidades
de frutas y 3 de chocolates y Belén 12 de frutas y 6 de chocolates. La función de utilidad de
Ana es UA (FA, CA) = lnFA + 2 lnCA y la de Belén UB (FB, CB) = 2 lnFB + lnCB.
(a) Encuentra la TMS de Ana y Belén.
La TMS es la razón de las utilidades marginales. En este caso, TMSA =
CA
2FA
y la
TMSB =
2CB
FB
.
(b) Dibuja la caja de Edgeworth y identifica el punto inicial. Identifica en la caja todo los
puntos que daŕıan mas utilidad a las dos juntas que el punto inicial.
OA
OB
21
9
F
C
(c) Encuentra la curva de contrato. ¿Es el punto inicial una asignación eficiente?
La curva de contrato incluye todos los puntos donde TMSA = TMSBo
CA
2FA
= 2CB
FB
.
Ahora, la restricción de los que les han dados los papás nos da CB = 9−CA y FB = 21−
FA. Reemplazando en la ecuación anterior, obtenemos:
CA
2FA
= 2(9−CA)
21−FA
o 21CA−CAFA =
36FA− 4CAFA o CA(7 +FA) = 12FA y finalmente CA = 12FA7+FA . Como el punto inicial no
está sobre la curva de contrato, el punto inicial no era una asignación eficiente.
(d) Encuentra el equilibrio general entre las dos hermanas.
Definimos p como el precio de las frutas sobre el del chocolate. La restricción de pre-
supuesto de Ana es pFA + CA = 9p + 3 y la de Belén, pFB + CB = 12p + 6. La
optimización de la utilidad de las dos implica que su TMS debe ser igual a p. Entonces,
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para Ana sabemos que CA = 2FAp. Reemplazando en la restricción de presupuesto,
obtenemos pFA + 2pFA = 9p + 3 o FA = 3 + 1/p y CA = 6p + 2. Del otro lado,
Belén tendrá 2CB = pFB en el óptimo. La restricción de presupuesto deviene entonces
2CB + CB = 12p + 6 o CB = 4p + 2 y FB = 8 + 4/p. Finalmente, usando el hecho que
CA + CB = 9 nos da 10p + 4 = 9 o p = 1/2. Uno puede verificar que el precio asegura
también que FA + FB = 21. A estos precios, CA = 5, CB = 4, FA = 5 y FB = 16.
(e) Imagina que los papás quieren maximizar UA + UB. ¿Qué tipo de función de utilidad
social tienen? Encuentra la asignación óptima en este caso. ¿Deben los papás regalar
exactamente esta canasta a las hijas o tienen alguna opción que les permita alcanzar la
canasta de consumo correspondiente?
Los padres de las niñas tienen una función de bienestar social utilitariana. El problema
de los papás es de maximizar lnFA + 2 lnCA + 2 lnFB + lnCB sujeto a CA + CB = 9 y
FA + FB = 21. Podemos reemplazar las restriciones en el problema de maximización y
obtenemos lnFA + 2 lnCA + 2 ln(21 − FA) + ln(9 − CA). La solución del problema está
dada por 2 condiciones de primer orden. 1
FA
− 2
21−FA
= 0 nos da FA = 7 y FB = 14. Del
otro lado, 2
CA
− 1
9−CA
= 0 nos da CA = 6 y CB = 3. Los padres pueden dar directamente
esta canasta o pueden también cambiar la asignación inicial para que una vez que las
niñas intercambian, el punto de equilibrio general sea éste.
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