Ayudantía 1

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Macroeconomı́a II
EAE221b-2
Profesores: Luis Felipe Céspedes; José De Gregorio
Ayudant́ıa 1
Ayudantes: Felipe Benguria; Darko Peric
Nota: esta ayudant́ıa consiste en un repaso matemático que puede resultar
útil durante el curso.
Problema 1
Resuelva el siguiente problema de minimización con respecto a x,z.
M ı́n(x− a)2 + λ(z − b)2
sujeto a:
x = s + r(z − b)
Respuesta:
Para resolverlo usamos el lagrangeano que ya conocen de otros cursos.
L = funcionobjetivo + µ(restriccion)
L = (x− a)2 + λ(z − b)2 + µ(x− s− r(z − b))
Las condiciones de primer orden son:
∂L
∂x
= 2(x− a) + µ = 0
∂L
∂z
= 2λ(z − b)− µr = 0
∂L
∂µ
= x− s− r(z − b) = 0
De la segunda condicion,
z − b = µr
2λ
Y reemplazando en la tercera,
x = s + r(z − b) = s + µr
2
2λ
Este es el x óptimo, y de la misma forma se despeja z.
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Problema 2
Calcule
∞∑
t=0
1
1 + r
con r > 0.
Respuesta:
Para calcular una sumatoria hay dos opciones (no excluyentes): saber la
fórmula de memoria o deducirla. Lo segundo tiene la ventaja de que nos podemos
encontrar con una sumatoria un poco distinta y si no sabemos la fórmula, la
deducimos.
Primero que nada, si la sumatoria es hasta infinito como en este caso, primero
la calculamos hasta N y luego hacemos tender N a infinito. LLamamos S a la
suma que buscamos:
S =
∑
t=0
1
(1 + r)t
Para simplificar, llamamos a = 11+r . Entonces, expandiendo,
S = 1 + a + a2 + ... + aN
Multiplicando a ambos lados por a, tenemos:
aS = a + a2 + ... + aN+1
Restamos esta ultima ecuación a la anterior y obtenemos:
(1− a)S = 1− aN+1
(ya que el resto de los términos se cancelaron)
Podemos despejar:
S =
1− aN+1
1− a
Ahora hacemos tender N a infinito, y como r >0 (y entonces a>1), la suma
hasta infinito vale
S =
1
1− a
=
1
1− 11+r
=
1 + r
r
Problema 3
a) Derive ambos lados con respecto a y, y despeje fydy.
M
P
= f(y)
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Respuesta:
Recordando la formula para la derivada de un cuociente, tenemos que la
derivada del lado izquierdo es:
∂(M/P )
∂y
=
∂M
∂y P −
∂P
∂y M
P 2
y la derivada de la derecha es:
∂f
∂y
= fy
Multiplicando por ∂y a ambos lados,
∂M
P
− M∂P
P 2
= fy∂y
b) Exprese en logaritmos m = Aye−ai. y calcule la elasticidad de m con
respecto a y.
Respuesta:
Basta recordar que el logaritmo un producto es la suma de los logaritmos:
logm = logA + logy − ai
La definicion de elasticidad es ηm,y = ∂logm∂logy . Por lo tanto, en este caso la
elasticidad seŕıa simplemente 1.
Hay que recordar que la elasticidad tambien es la variacion porcentual de m
sobre la variacion porcentual de y,
∆m
m
∆y
y
.
Problema 4
Recuerde que var(X) = E(x− E(x))2
Recuerde que si Z = aX + b donde X es una variable aleatoria, entonces
var(Z) = a2var(X)
Un proceso autoregresivo de orden 1 [AR(1)] es de la forma xt = xt−1 + �t
donde �t es un ”shock”iid N (0, σ�).
Un proceso MA(1) [promedio rodante o moving average de orden 1] es de la
forma xt = θ�t−1 + �t donde �t es un shock iid N (0, σ�).
La autocovarianza entre xt y xt−1 es E[(xt−E(xt))(xt−E(xt). En ayudantia
se calculo para el caso MA(1), suponiendo que E[xt] = E[xt−1] = 0 para lo cual
simplemente se reemplaza en la expresion y se usa la independencia de los shocks
de distintos periodos.
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